Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 9145
2022-11-02 
На обе чашы весов можно класть гири, а груз можно класть только на одну чашу. Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы можно было уравновесить любой груз целого веса от 1 до 100 грамм?
Решение:
Любые 4 гири позволяют взвесить не более $3^{4} = 81$ различных весов (каждую гирю можно положить на одну чашу, либо на другую, либо вообще не использовать). На самом деле не более 80, так как умение взвесить 0 граммов (ни одна гиря не участвует) можно не учитывать.
Покажем теперь, что достаточно иметь 5 гирь с весами 1,3, 9, 27, 81.
Ниже мы докажем, что любое натуральное число равно разности А - В двух натуральных чисел, в троичной записи которых используются только две цифры: 0 и 1. Из этого сразу вытекает решение: на левую чашу поставим гири суммарного веса А, а на правую чашу - гири суммарного веса В и груз. При этом если одна и та же гиря оказалась на обеих чашах, то уберем ее е обеих чаш. Осталось только показать, что если груз в пределах до 100 грамм, то гири весом $3^{5}, 3^{6}$ и т.д. использоваться не будут, то сеть что соответствующие разряды в троичной записи чисел А и В обязательно нулевые. В самом деле, если пусть иепользюетея гири весов $3^{n}, n > 4$. Выберем среди всех таких гирь гирю максимального веса $3^{k}, k > 4$. Пусть она на правой чаше. Тогда на правой чаше лежит вес по крайней мере $3^{k}$, а на левой чаше вес не более чем $100 + 1 + 3 + 9 + \cdots + 3^{k-1}$. Так как при $k > 4$ выполнено неравенство $3^{k} > 100 + 1 + 3 + 9 + \cdots + 3^{k-1}$ (докажите его!), то равновесия быть не может.
Докажем теперь, что любое натуральное число $n$ равно разности двух натуральных чисел, в троичной записи которых используются только две цифры: 0 и 1. Для представим число $n$ в троичной системе счисления и строить нужные два числа (уменьшаемое и вычитаемое) поразрядно справа налево.
Алгоритм построения уменьшаемого и вычитаемого. Если у исходного числа стоит 0, то пишем у искомых чисел в этом разряде тоже 0. Если у исходного числа стоит 1, то у первого числа (уменьшаемого) пишем 1, а у второго (вычитаемого) пишем 0, Если у исходного числа стоит 2, то прибавляем к следующему его разряду 1, у первого (уменьшаемого) пишем 0, а у второго (вычитаемого) пишем 1. Ясно, что бесконечно долго этот процесс продолжаться не может: рассмотрим самый старший разряд исходного числа, тогда в следующем разряде двойка появится не может, то сеть процесс закончится.
Ответ. 5 гирь.
На обе чашы весов можно класть гири, а груз можно класть только на одну чашу. Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы можно было уравновесить любой груз целого веса от 1 до 100 грамм?
Решение:
Любые 4 гири позволяют взвесить не более $3^{4} = 81$ различных весов (каждую гирю можно положить на одну чашу, либо на другую, либо вообще не использовать). На самом деле не более 80, так как умение взвесить 0 граммов (ни одна гиря не участвует) можно не учитывать.
Покажем теперь, что достаточно иметь 5 гирь с весами 1,3, 9, 27, 81.
Ниже мы докажем, что любое натуральное число равно разности А - В двух натуральных чисел, в троичной записи которых используются только две цифры: 0 и 1. Из этого сразу вытекает решение: на левую чашу поставим гири суммарного веса А, а на правую чашу - гири суммарного веса В и груз. При этом если одна и та же гиря оказалась на обеих чашах, то уберем ее е обеих чаш. Осталось только показать, что если груз в пределах до 100 грамм, то гири весом $3^{5}, 3^{6}$ и т.д. использоваться не будут, то сеть что соответствующие разряды в троичной записи чисел А и В обязательно нулевые. В самом деле, если пусть иепользюетея гири весов $3^{n}, n > 4$. Выберем среди всех таких гирь гирю максимального веса $3^{k}, k > 4$. Пусть она на правой чаше. Тогда на правой чаше лежит вес по крайней мере $3^{k}$, а на левой чаше вес не более чем $100 + 1 + 3 + 9 + \cdots + 3^{k-1}$. Так как при $k > 4$ выполнено неравенство $3^{k} > 100 + 1 + 3 + 9 + \cdots + 3^{k-1}$ (докажите его!), то равновесия быть не может.
Докажем теперь, что любое натуральное число $n$ равно разности двух натуральных чисел, в троичной записи которых используются только две цифры: 0 и 1. Для представим число $n$ в троичной системе счисления и строить нужные два числа (уменьшаемое и вычитаемое) поразрядно справа налево.
Алгоритм построения уменьшаемого и вычитаемого. Если у исходного числа стоит 0, то пишем у искомых чисел в этом разряде тоже 0. Если у исходного числа стоит 1, то у первого числа (уменьшаемого) пишем 1, а у второго (вычитаемого) пишем 0, Если у исходного числа стоит 2, то прибавляем к следующему его разряду 1, у первого (уменьшаемого) пишем 0, а у второго (вычитаемого) пишем 1. Ясно, что бесконечно долго этот процесс продолжаться не может: рассмотрим самый старший разряд исходного числа, тогда в следующем разряде двойка появится не может, то сеть процесс закончится.
Ответ. 5 гирь.
