Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 9147
2022-11-02 
Найдите все такие натуральные $n$, для которых правильный треугольник нельзя разрезать на $n$ правильных треугольников.
Решение:
Решение 1. Если прямой, парллельной стороне, отрезать полоску шириной в к раз меньшей высоты треугольника, то ее можно разрезать на $2k - 1$ маленьких треугольников с высотой равной ширине полоски. Таким образом, получится $2k$ ($k = 2, 3, \cdots$) треугольника.
Если предварительно разрезать треугольник на 4 равных, а затем один из них разрезать как выше, то получим $2k + 3$ ($k = 2, 3, \cdots$) треугольника.
Таким образом, осталось доказать, что на 2, 3 или 5 треугольников разрезать нельзя. Каждый из трех углов должен принадлежать после разрезания разным треугольникам. После отрезания углов мы получим три треугольника и центральную часть в виде шестиугольника, пятиугольника или треугольника. Поэтому не может быть только 2 или только 3 треугольных части. Если центральная часть - треугольник, то ее разрезать ровно на 2 треугольника нельзя (только что доказали). Пусть центральная часть - шестиугольник или пятиугольник. В этом случае не менее трех его углов равны $120^{ \circ}$, поэтому понятно, что его нельзя разрезать на два правильных треугольника.
Идея решения 2. Разрежем как-нибудь на 6, 7 или 8 правильных треугольников. Затем будем разрезать один треугольник на 4 равных. Получим 9, 10 или 11 треугольников. Снова разрежем один треугольник на 4 равных. Получим 12, 13 или 14 треугольников. Далее действуем аналогично.
Осталось (как выше) доказать, что нельзя разрезать на 2, 3 или 5 треугольников.
Ответ. Нельзя разрезать на $n = 2,3,5$ правильных треугольника; при остальных натуральных $n$ можно.
Найдите все такие натуральные $n$, для которых правильный треугольник нельзя разрезать на $n$ правильных треугольников.
Решение:
Решение 1. Если прямой, парллельной стороне, отрезать полоску шириной в к раз меньшей высоты треугольника, то ее можно разрезать на $2k - 1$ маленьких треугольников с высотой равной ширине полоски. Таким образом, получится $2k$ ($k = 2, 3, \cdots$) треугольника.
Если предварительно разрезать треугольник на 4 равных, а затем один из них разрезать как выше, то получим $2k + 3$ ($k = 2, 3, \cdots$) треугольника.
Таким образом, осталось доказать, что на 2, 3 или 5 треугольников разрезать нельзя. Каждый из трех углов должен принадлежать после разрезания разным треугольникам. После отрезания углов мы получим три треугольника и центральную часть в виде шестиугольника, пятиугольника или треугольника. Поэтому не может быть только 2 или только 3 треугольных части. Если центральная часть - треугольник, то ее разрезать ровно на 2 треугольника нельзя (только что доказали). Пусть центральная часть - шестиугольник или пятиугольник. В этом случае не менее трех его углов равны $120^{ \circ}$, поэтому понятно, что его нельзя разрезать на два правильных треугольника.
Идея решения 2. Разрежем как-нибудь на 6, 7 или 8 правильных треугольников. Затем будем разрезать один треугольник на 4 равных. Получим 9, 10 или 11 треугольников. Снова разрежем один треугольник на 4 равных. Получим 12, 13 или 14 треугольников. Далее действуем аналогично.
Осталось (как выше) доказать, что нельзя разрезать на 2, 3 или 5 треугольников.
Ответ. Нельзя разрезать на $n = 2,3,5$ правильных треугольника; при остальных натуральных $n$ можно.
