Дан линейный двучлен $l(z) = Az + B $ с комплексными коэффициентами $A$ и $B$. Известно, что максимальное значение $|l(x)|$ на отрезке $-1 \leq x \leq 1 (y=0)$ действительной оси комплексной плоскости $z = x + iy$ равно $M$.
Докажите, что при любом $z$
$|l(x)| \leq M \rho$,
где $\rho$ — сумма расстояний от точки $P = z$ до точек
$Q_{1} (z=1)$ и $Q_{3}(z=-1)$.
Подробнее
Решить уравнение
$\frac{\cos 3x}{\cos x} + \frac{2 | \cos x|}{\cos 3x} = -1$.
Подробнее
Решить неравенство
$\sqrt{3x^{2} + 8x - 3 } > \frac{1+2x}{3}$.
Подробнее
Найти все пары целых чисел $x, y$, при которых является верным равенство
$x^{3} – 3x^{2} – xy -8x -2y + 27 = 0$.
Подробнее
Решить систему уравнений
$\begin{cases} log_{2} \left ( x^{2}y + 2xy^{2} \right ) - log_{ \frac{1}{3}} \left ( \frac{2}{x} + \frac{1}{y} \right ) = 4, & \\ log_{5} \left | \frac{xy}{6} \right | = 0.& \end{cases}$
Подробнее
Решить неравенство
$\sqrt[4]{ \frac{5 + 3 \cos 4x}{8}} > - \sin x$
Подробнее
Найти все значения $a$, при которых уравнение $\sin x = (4a - 2)^{2}$ имеет корни, а числа $\frac{1-4a}{27a^{4}}$ являются целыми.
Подробнее
Что больше $\frac{2}{201}$ или $ln \frac{101}{100}$? Докажите аналитически.
Подробнее
Справедливо ли равенство:
$\cos \frac{2 \pi}{9} + \cos \frac{4 \pi}{9} + \cos \frac{6 \pi}{9} + \cos \frac{8 \pi}{9} = - \frac{1}{2}$?
Подробнее
Докажите, что для любых действительных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство
$a^{2} + ab + b^{2} \geq 3(a + b - 1)$.
Подробнее
Докажите, что уравнение $x^{3} + y^{3} = 4(x^{2}y + xy^{2} + 1$) не имеет решений в целых числах.
Подробнее
Решите в положительных числах систему уравнений
$\begin{cases} x_{1} + \frac{1}{x_{2} } = 4, \\ x_{2} + \frac{1}{x_{3} } = 1, \\ x_{3} + \frac{1}{x_{4} } = 4, \\ \cdots \\ x_{99} + \frac{1}{x_{100}} = 4, \\ x_{100} + \frac{1}{x_{1} } = 1. \end{cases}$
Подробнее
Докажите, что $\sqrt{2 + \sqrt[3]{3 + \cdots \sqrt[1993]{1993} }} < 2$.
Подробнее
Докажите, что для любого натурального $n > 2$ число
$[ ( \sqrt[3]{n} + \sqrt[3]{n + 2} )^{3} ] + 1$
делится на 8.
Подробнее
На доске написано: $x^{3} + \cdots x^{2} + \cdots x + \cdots = 0$. Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого — получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?
Подробнее