2015-12-03
Решить систему уравнений
$\begin{cases} log_{2} \left ( x^{2}y + 2xy^{2} \right ) - log_{ \frac{1}{3}} \left ( \frac{2}{x} + \frac{1}{y} \right ) = 4, & \\ log_{5} \left | \frac{xy}{6} \right | = 0.& \end{cases}$
Решение:
Первые уравнения системы можно записать в виде
$log_{2} [xy(x + 2y)] + log_{2} \frac{x+2y}{xy} = 4$,
а множество допустимых значений $x, y$ определяется условием
$xy(x + 2y) > 0$. (1)
При выполнении условия (1) исходная система равносильна системе
$\begin{cases} (x+2y)^{2} = 16, & \\ \left | \frac{xy}{6} \right | = 1 \end{cases}$, (2)
а система (1)—(2) равносильна совокупности двух систем
$\begin{cases} x+2y = 4,& \\ xy=6 & \end{cases}$ (3)
и
$\begin{cases} x+2y = -4,& \\ xy=-6 & \end{cases}$ (4)
Исключая $x$ из системы (3), получаем уравнение $y^{2} – 2y + 3 = 0,$ не имеющее действительных корней. Поэтому система (3) не имеет действительных решений.
Из системы (4) получаем уравнение $y2 + 2y - 3 = 0$, имеющее корни $y_{1} = -3, y_{2} = 1$.
Поэтому исходная система имеет два решения: (2; —3) и (—6; 1).