2018-09-15
Докажите, что для любых действительных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство
$a^{2} + ab + b^{2} \geq 3(a + b - 1)$.
Решение:
Рассмотрим выражение
$a^{2} + ab + b^{2} - 3(a + b - 1) = a^{2} + (b - 3)a + (b^{2} - 3b + 3)$
как квадратный трехчлен относительно $a$. Его дискриминант равен $- 3(b - 1)^{2}$ и, следовательно, неположителен. Так как коэффициент при $a^{2}$ больше нуля, то трехчлен принимает только неотрицательные значения, значит, $a^{2} + ab + b^{2} \geq 3(a + b - 1)$ при любых $a$ и $b$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда $a = b = 1$.
Замечание. Возможны и другие решения, например, решение, использующее одно из тождеств $a^{2} + ab + b^{2} - 3(a + b - 1) = (a - 1)^{2} + (b - 1)^{2} + (a - 1)(b - 1)$ или $a^{2} + ab + b^{2} - 3(a + b - 1) = \frac{1}{2} (a - 1)^{2} + \frac{1}{2} (b - 1)^{2} + \frac{1}{2} (a + b - 2)^{2}$. Еще одно решение можно получить, заметив, что $ab = \frac{(a + b)^{2} - (a^{2} + b^{2} ) }{2}$, и воспользовавшись неравенством $a^{2} + b^{2} \geq \frac{(a + b)^{2} }{2}$