Существует ли квадратный трехчлен $P(x)$ с целыми коэффициентами такой, что для любого натурального числа $n$, в десятичной записи которого участвуют одни единицы, число $P(n)$ также записывается одними единицами?
Подробнее
Известно, что уравнение $ax^{5} + bx^{4} + c = 0$ имеет три различных корня. Докажите, что уравнение $cx^{5} + bx + a = 0$ также имеет три различных корня.
Подробнее
Доказать, что произведение четырех последовательных целых чисел, увеличенное на единицу, равно квадрату целого числа.
Подробнее
Доказать, что число $13^{2n} - 1$, где $n$ - натуральное, делится на 168.
Подробнее
Доказать, что число $7^{21} - 487$ делится на 288.
Подробнее
Чему равно арифметическое значение $\sqrt{ a^{2}}$?
Подробнее
Составить квадратное уравнение с вещественными коэффициентами, один из корней которого равен $\frac{1 + i}{1 - i}$.
Подробнее
В уравнении
$x^{2} - 2x + q = 0$
квадрат разности корней равен 16. Определить свободный член уравнения.
Подробнее
Турист, идущий из деревни на ж.-д. станцию, пройдя за первый час 3 км, рассчитал, что он опоздает к поезду на 40 мин, если будет двигаться с тою же скоростью. Поэтому остальной путь он проходит со скоростью 4 км/час и прибывает на станцию за 45 мин до отхода поезда. Каково расстояние от деревни до станции?
Подробнее
Трехзначное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру перенести влево (т. е. поместить вначале), то новое число будет на единицу больше утроенного первоначального числа. Найти это число.
Подробнее
Самолет летел сначала со скоростью 220 км/час. Когда ему осталось пролететь на 385 км меньше, чем пролетел, он изменил скорость и стал двигаться со скоростью 330 км/час. Средняя скорость самолета на всем пути оказалась равной 250 км/час, Какое расстояние пролетел самолет?
Подробнее
Мне вдвое больше лет, чем Вам было тогда, когда мне было столько лет, сколько Вам теперь; когда Вам будет столько лет, сколько мне теперь, тогда сумма наших Еозрастов будет равна 63 годам. Сколько лет каждому?
Подробнее
Две автомашины выехали одновременно из одного и того же пункта в одном и том же направлении. Первая имеет скорость 50 км/час, а вторая 40 км/час. Спустя полчаса из того же пункта выехала третья машина и, догнав вторую, находилась в движении еще 1,5 час до того, как нагнала первую. Какова скорость третьей машины, если движение всех машин равномерное?
Подробнее
Пассажирский поезд идет из A в В и после 5 мин остановки в В идет далее в С. Спустя 14 мин после того, как он покинул В, ему встречается скорый поезд, скорость которого вдвое больше скорости пассажирского поезда. Скорый поезд выехал из С в тот момент, когда пассажирский поезд был на расстоянии 25 км от A. Кроме того, известно, что скорому поезду нужно 2 час, чтобы пройти расстояние СВ, и что, если он из Л сразу возвратится, то прибудет в С на 0,75 час позже прибытия пассажирского поезда. Сколько километров в час делает каждый поезд и как удалены друг от друга пункты A, В и С?
Подробнее
Некоторое количество денег было разложено на $n$ кучек. После этого из первой кучки переложили во вторую $\frac{1}{n}$ часть бывших в первой кучке денег. Затем из второй кучки $\frac{1}{n}$ часть оказавшихся в ней после перекладывания денег переложили в третью кучку. Далее, $\frac{1}{n}$ часть денег, получившихся после этого в третьей кучке, переложили в четвертую и т. д. Наконец из $n$-й кучки $\frac{1}{n}$ часть оказавшихся в ней после предшествующего перекладывания денег переложили в первую кучку. После этого в каждой кучке стало А рублей. Сколько денег было в каждой кучке до перекладывания?
Подробнее
