2015-11-02
Найти все пары целых чисел $x, y$, при которых является верным равенство
$x^{3} – 3x^{2} – xy -8x -2y + 27 = 0$.
Решение:
$(-1;31),(-3;3),(21;339),(-25;751)$.
Решение.
Выразим $y$ через $x$, получим:
$y = \frac{x^{3} - 3x^{2} – 8x + 27}{x+2}$.
Выделим целую часть, преобразовав дробь:
$y = \frac{x^{3} + 2x^{2} -5 (x^{2} + 2x) + 2 (x+2) + 23}{x+2} = x^{2} – 5x + 2 + \frac{23}{x+2}$.
Целые значения $y$ примет при целых $x$ тогда и только тогда, когда $\frac{23}{x+20}$ примет целые значения, т. е. в следующих случаях: $x + 2 = 1, x + 2 = -1, x + 2 = 23, x + 2 = -23$. Отсюда находим $x_{1} =, x_{2} = -3, x_{3} = 21, x_{4} = -25$, а затем соответствующие значения $y$.