2018-09-15
Докажите, что уравнение $x^{3} + y^{3} = 4(x^{2}y + xy^{2} + 1$) не имеет решений в целых числах.
Решение:
Перепишем уравнение в виде
$(x + y)^{3} = 7(x^{2}y + xy^{2}) + 4$.
Так как куб целого числа не может давать остаток 4 при делении на 7, то уравнение не имеет решений в целых числах.
Замечание. Другие решения задачи можно получить, рассматривая остатки, которые могут давать числа $x$ и $y$ при делении на 4, или заметив, что из уравнения следует, что $x + y$ — делитель числа 4.