Последовательность действительных чисел удовлетворяет условию
$1 = a_{0} \leq a_{1} \leq \cdots \leq a_{n} \leq \cdots$ (1)
Последовательность $b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}, \cdots $ определяется так:
$b_{n} = \sum_{k=1}^{n} \left ( 1 - \frac{a_{k-1}}{a_{k}} \right ) \cdot \frac{1}{\sqrt{a_{k}}}$.
Докажите: a) $0 \leq b_{n} < 2$ для всех $n$; б) для данного $c$, такого, что $0 \leq c < 2$, существует последовательность $a_{0}, a_{1}, \cdots , a_{n}, \cdots ,$ удовлетворяющая условию (1), такая, что $b_{n} > c$ бесконечного множества индексов $n$.
Подробнее
Докажите, что утверждение “Для любых действительных чисел $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ выполняется неравенство
$(a_{1} – a_{2})(a_{1}- a_{3}) \cdots (a_{1} – a_{n}) + (a_{2} – a_{1})(a_{2} – a_{3}) \cdots (a_{2} – a_{n}) + \cdots \cdots + (a_{n} – a_{1})(a_{n}- a_{2}) \cdots (a_{n} – a_{n-1}) \geq 0$
справедливо при $n=3$ и $n=5$ и несправедливо ни при каком другом натуральном $n > 2$.
Подробнее
Докажите, что последовательность $\{ 2^{n} – 3 \} (n=2;3;4; \cdots)$ содержит бесконечное множество чисел, каждые два из которых взаимно просты.
Подробнее
Докажите, что для любого натурального числа $m$ существует непустое конечное множество $S$ точек плоскости, такое, что для любой точки $A$ из $S$ имеется ровно $m$ точек из $S$, которые находятся на единичном расстоянии от $A$.
Подробнее
Рассмотрим квадратную таблицу
$a_{11}a_{12} \cdots a_{1n} \\
a_{21}a_{22} \cdots a_{2n} \\
\cdots \\
a_{n1}a_{n2} \cdots a_{nn} $
состоящую из неотрицательных целых чисел и удовлетворяющую следующему условию: как только $a_{ij}=0$, так справедливо неравенство $a_{i1} + a_{i2} + \cdots + a_{in} +a_{1j}+a_{2j}+ \cdots + a_{nj} \geq n$. Докажите, что сумма всех элементов таблицы не меньше $\frac{1}{2} n^{2}$.
Подробнее
Найдите все решения $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5})$ системы неравенств:
$\begin{cases}
(x_{1}^{2} – x_{3}x_{5})(x_{2}^{2} – x_{3}x_{5}) \leq 0, &\\
(x_{2}^{2} – x_{4}x_{1})(x_{3}^{2} – x_{4}x_{1}) \leq 0, &\\
(x_{3}^{2} – x_{5}x_{2})(x_{4}^{2} – x_{5}x_{2}) \leq 0, &\\
(x_{4}^{2} – x_{1}x_{3})(x_{5}^{2} – x_{1}x_{3}) \leq 0, &\\
(x_{5}^{2} – x_{2}x_{4})(x_{1}^{2} – x_{2}x_{4}) \leq 0, &\\
\end{cases}$ где $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ — положительные действительные числа.
Подробнее
Найдите минимальное значение $a^{2} + b^{2}$, где $a$ и $b$ — действительные числа, для которых уравнение $x^{4} + ax^{3} + bx^{2} + ax + 1 =0$ имеет по крайней мере один действительный корень.
Подробнее
Найдите множество значений суммы
$S = \frac{a}{a+b+d} + \frac{b}{a+b+c} + \frac{c}{b+c+d} + \frac{d}{a+c+d}$
где $a,b,c,d$ — произвольные положительные действительные
числа.
Подробнее
Пусть $P$ — многочлен с целочисленными коэффициентами, не являющийся константой, и пусть $n(P)$ — число всех различных целых чисел $k$, для которых $(P(k))^{2} = 1$.
Докажите, что $n(P) – deg(P) \leq 2$, где $deg(P)$ означает степень многочлена $P$.
Подробнее
Решите уравнение:
$\cos^{2} x + \cos^{2} 2x + \cos^{2} 3x =1$.
Подробнее
Найдите действительные корни уравнения
$\sqrt{x^{2} - p} + 2 \sqrt{x^{2}-1} = x$,
где $p$ — действительный параметр.
Подробнее
Найдите все решения $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ системы уравнений
$\begin{cases} x_{5}+x_{2}=yx_{1}, & (1) \\
x_{1}+x_{3}=yx_{2}, & (2)\\
x_{2}+x_{4}=yx_{3}, & (3)\\
x_{3}+x_{5}=yx_{4}, & (4)\\
x_{4}+x_{1}=yx_{5}, & (5)\\
\end{cases}$
где $y$ — параметр.
Подробнее
Докажите, что
$\cos \frac{\pi}{7} - \cos \frac{2 \pi}{7} + \cos \frac{3 \pi}{7} = \frac{1}{2}$.
Подробнее
Найдите все действительные $x$, принадлежащие отрезку $0 \leq x \leq 2 \pi$ и удовлетворяющие неравенству
$2 \cos x \leq |\sqrt{1+ \sin 2x} - \sqrt{1 - \sin 2x}| \leq \sqrt{2}$.
Подробнее
Дана система уравнений:
$\begin{cases}
a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} = 0, & \\
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} = 0, & \\
a_{31}x_{1} + a_{32}x_{2} + a_{33}x_{3} = 0, & \\
\end{cases}$
коэффициенты которых удовлетворяют следующим условиям:
а) $a_{11}, a_{22}, a_{33}$ положительны;
б) все остальные коэффициенты отрицательны;
в) в каждом уравнении сумма коэффициентов положительна.
Докажите, что $x_{1} = x_{2} = x_{3} = 0$ является единственным решением данной системы.
Подробнее
