На олимпиаде были даны три задачи: $A, B, C$. 25 школьников решили хотя бы одну задачу. Школьников, не решивших задачу $A$, но решивших $B$, в два раза больше, чем решивших $C$. Школьников, решивших только задачу $A$, на одного больше, чем остальных школьников, решивших задачу $A$. Сколько школьников решили только задачу $B$, если среди школьников, решивших только одну задачу, половина не решила задачу $A$?

Подробнее

Докажите тождество:
$\frac{1}{ \sin 2x} + \frac{1}{ \sin 4x} + \cdots + \frac{1}{\sin 2^{n} x} = ctg x – ctg 2^{n} x$,
где $n$ — натуральное и $x \neq \frac{\lambda \pi}{2^{k}} (k=0,1, \cdots , n; \lambda)$ — целое).

Подробнее

Решите систему:
$\begin{cases}
|a_{1} – a_{2}|x_{2} + |a_{1} – a{3}|x_{3} + |a_{1} – a_{4}|x_{4} = 1, & \\
|a_{2} – a_{1}|x_{1} + |a_{2} – a{3}|x_{3} + |a_{2} – a_{4}|x_{4} = 1, & \\
|a_{3} – a_{1}|x_{1} + |a_{3} – a{2}|x_{2} + |a_{3} – a_{4}|x_{4} = 1, & \\
|a_{4} – a_{1}|x_{1} + |a_{4} – a{2}|x_{2} + |a_{4} – a_{3}|x_{3} = 1, & \\
\end{cases}$
где $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ — данные различные действительные числа.

Подробнее

Докажите неравенство
$tg \left ( \frac{\pi \sin x}{4 \sin \alpha} \right ) + tg \left ( \frac{\pi \cos x}{4 \cos \alpha} \right ) > 1$
для всех значений $x$ и $\alpha$, удовлетворяющих условиям
$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, \frac{ \pi}{6} < \alpha < \frac{\pi}{3}$.

Подробнее

Найдите $x$, если
$\frac{\sin 3x \cdot \cos (60^{\circ} – 4x) +1}{\sin (60^{\circ} – 7x) - \cos (30^{\circ} + x) + m}=0$,
где $m$ — данное действительное число.

Подробнее

Сколько действительных решений имеет уравнение
$x=1964 \sin x - 189$?

Подробнее

Пусть $a_{1} > 0, a_{2} > 0, \cdots, a_{n} > 0$. Докажите неравенство
$C_{n}^{2} \left ( \frac{1}{a_{1}a_{2}} + \frac{1}{a_{1}a_{3}} + \cdots + \frac{1}{a_{1}a_{n}} + \frac{1}{a_{2}a_{3}} + \cdots + \frac{1}{a_{2}a_{n}} + \cdots + \frac{1}{a_{n-1}a_{n}} \right ) \geq 4 \left (\frac{1}{a_{1}+a_{2}} + \frac{1}{a_{1}+a_{3}} + \cdots + \frac{1}{a_{1}+a_{n}} + \frac{1}{a_{2}+a_{3}} + \cdots + \frac{1}{a_{2}+a_{n}} + \cdots + \frac{1}{a_{n-1}+a_{n}} \right )^{2}$
и найдите условие, которому должны удовлетворять числа $a_{i} (i=1,2, \cdots, n)$, чтобы имело место равенство.

Подробнее

Решите уравнение:
$\frac{1}{ \sin x} + \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{p}$,
где $p$ — действительный параметр. Исследуйте, при каких значениях параметра существуют решения и сколько.

Подробнее

а) Докажите неравенство
$(a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{k})^{2} \leq k(a_{1}^{2} + \cdots + a_{k}^{2})$, (1)
где $k \geq 1$ натуральные и $a_{1}, \cdots, a_{k}$ произвольные действительные числа.
б) Используя неравенство (1), докажите, что если действительные числа $a_{1}, \cdots, a_{n}$ удовлетворяют неравенству
$a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} \geq \sqrt{(n-1)(a_{1}^{2}+ \cdots + a_{n}^{2})}$, (2)
то все числа $a_{1}, \cdots, a_{n}$ неотрицательны.

Подробнее

Докажите, что если $n$ — целое положительное число, то:
а) $lg(n+1) > \frac{3}{10n} + lg n$;
б) $lg(n!) > \frac{3n}{10} \left ( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} - 1 \right )$
($lg$ — символ обычного десятичного логарифма).

Подробнее

Решите уравнение и исследуйте его решения для различных значений $m$:
$|x^{2}-1|+|x^{2}-4|=mx$.
Какие пары целых чисел $(x,m)$ удовлетворяют данному равенству?

Подробнее

Найдите все пары положительных целых чисел $(x,y)$, удовлетворяющих уравнению $2^{x} = 3^{y} + 5$.

Подробнее

Коэффициенты $a, b, c, d$ полинома $ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ — целые числа, причем $ad$ — нечетное и $bc$ — четное число. Докажите, что хотя бы один корень полинома нерациональный.

Подробнее

Найдите действительные решения уравнения
$\sqrt{x^{2} + 2px – p^{2}} - \sqrt{x^{2} – 2px – p^{2}} = 1$,
где $p$ — положительное действительное число.

Подробнее

Найдите все $x$, для которых
$\sin x + \sin 2x + \cdots + \sin nx \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$
при любом значении $n$.

Подробнее