2015-11-02
Решить уравнение
$\frac{\cos 3x}{\cos x} + \frac{2 | \cos x|}{\cos 3x} = -1$.
Решение:
$x= \pm \frac{2 \pi}{3} + 2\pi n, x = \pi + 2\pi n, n \in Z$.
Решение.
Пусть $t = \frac{\cos 3x}{\cos x}$
а) Если $\cos x > 0$, то $t + \frac{2}{t} = - 1$ или $t^{2} + t + 2 = 0$.
Это уравнение не имеет действительных корней.
б) Если $\cos x < 0$, то $t - \frac{2}{t} = -1$ или $t^{2} + t - 2 = 0$, откуда $t_{1} = -2, t_{2} = 1$.
Пусть $t = -2$, тогда $\frac{ \cos 3x}{ \cos x} = - 2$ или $\frac{4 \cos^{3} x – 3 \cos x}{ \cos x} = - 2$.
Так как $\cos x \neq 0$, то $4 \cos^{2} x - 3 = 2, \cos^{2} x = 1/4, \cos x = -1/2, x = \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi n$.
Пусть $t = 1$, тогда $4 \cos^{2} x – 3 = 1, \cos^{2} x = 1, \cos x = -1, x = \pi + 2 \pi n$.