Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13263
2023-08-14 
Докажите, что если выбрать наугад 6 человек, то либо среди них найдутся трое, каждый из которых знаком с остальными двумя, либо - трое, ни один из которых не знаком с остальными.
Решение:
Мы здесь предполагаем, что знакомство двух людей взаимно, то есть если некий человек знаком с другим человеком, то и второй знаком с первым. Отождествив каждого из 6 человек с некоторой вершиной октаэдра, мы сведем задачу к эквивалентной задаче: если каждое ребро и каждая диагональ октаэдра окрашены произвольным образом в зеленый или красный цвет, то нужно доказать, что в некотором треугольнике все стороны окрашены в один и тот же цвет.
Каждая вершина соединена ребром или диагональю с любой другой вершиной. Из пяти отрезков, соединяющих данную вершину с остальными, по крайней мере три должны быть окрашены в одинаковый цвет. Взяв эти три отрезка, мы увидим, что возможны два случая.
1. У двух таких отрезков концы соединены отрезком того же цвета. В этом случае два данных отрезка и отрезок, соединяющий их концы, образуют нужный треугольник.
2. Любые два из трех наших отрезков соединены отрезком противоположного цвета. Тогда искомый треугольник образуют три отрезка, соединяющих концы наших трех отрезков.
Докажите, что если выбрать наугад 6 человек, то либо среди них найдутся трое, каждый из которых знаком с остальными двумя, либо - трое, ни один из которых не знаком с остальными.
Решение:
Мы здесь предполагаем, что знакомство двух людей взаимно, то есть если некий человек знаком с другим человеком, то и второй знаком с первым. Отождествив каждого из 6 человек с некоторой вершиной октаэдра, мы сведем задачу к эквивалентной задаче: если каждое ребро и каждая диагональ октаэдра окрашены произвольным образом в зеленый или красный цвет, то нужно доказать, что в некотором треугольнике все стороны окрашены в один и тот же цвет.
Каждая вершина соединена ребром или диагональю с любой другой вершиной. Из пяти отрезков, соединяющих данную вершину с остальными, по крайней мере три должны быть окрашены в одинаковый цвет. Взяв эти три отрезка, мы увидим, что возможны два случая.
1. У двух таких отрезков концы соединены отрезком того же цвета. В этом случае два данных отрезка и отрезок, соединяющий их концы, образуют нужный треугольник.
2. Любые два из трех наших отрезков соединены отрезком противоположного цвета. Тогда искомый треугольник образуют три отрезка, соединяющих концы наших трех отрезков.
