Даны вершина $A$ и центр тяжести $M$ треугольника $ABC$. Найдите геометрическое место вершин $B$, таких, что $\angle A$, $ \angle B$, $\angle C$ треугольника $ABC$ одновременно удовлетворяют условиям:
$40^{\circ} \leq \hat{A} \leq 70^{\circ}, 40^{\circ} \leq \hat{B} \leq 70^{\circ}$ и $40^{\circ} \leq \hat{C} \leq 70^{\circ}$.
Подробнее
В тетраэдре все пары скрещивающихся ребер взаимно перпендикулярны. Докажите, что все шесть середин его ребер лежат на одной сфере.
Подробнее
На окружности с центром $O$ радиуса 1 от точки $A_{0}$ отложим точки $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{999}, A_{1000}$ так, что $\hat{A_{0}OA_{k}} = k$ (в радианной мере). Затем окружность в точках $A_{0}, A_{1}, \cdots, A_{1000}$ разрезается. Сколько различных по длине дуг при этом получится?
Подробнее
В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С проведена медиана CD. Около треугольника ACD описана окружность, а в треугольник BCD вписана окружность. Найти расстояние между центрами этих окружностей, если ВС = 3, а радиус описанной около треугольника ABC окружности равен $\frac{5}{2}$.
Подробнее
Правильная треугольная призма $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ пересечена плоскостью, проходящей через середины ребер $AB, A_{1}C_{1}, BB_{1}$. Построить сечение призмы, найти площадь сечения и вычислить угол между плоскостью основания $ABC$ и плоскостью сечения, если сторона основания равна 4, а высота призмы равна $\frac{ \sqrt{42}}{7}$.
Подробнее
Сторона ромба $ABCD$ равна 6. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $BCD$, равно 8. Найти радиусы этих окружностей.
Подробнее
Две противоположные боковые грани четырехугольной пирамиды $SABCD$ перпендикулярны основанию, высота пирамиды равна $\sqrt{5}$. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция $ABCD (AD = BC)$, описанная около окружности и такая, что $AB = 6, \angle BAD = \frac{ \pi}{3}$. Найти расстояние от точки $D$ до плоскости $SAB$.
Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его основания вписана в треугольник $SCD$, а вершина принадлежит грани $SAB$. Найти объем конуса.
Подробнее
На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, причем AO = CO. Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный, если
а) AM = CN; б) BM = BN ?
Подробнее
Три прямоугольных треугольника расположены в одной полуплоскости относительно данной прямой $l$ так, что один из катетов каждого треугольника лежит на этой прямой. Известно, что существует прямая, параллельная $l$, пересекающая треугольники по равным отрезкам. Докажите, что если расположить треугольники в одной полуплоскости относительно прямой $l$ так, чтобы другие их катеты лежали на прямой $l$, то также найдется прямая, параллельная $l$, пересекающая их по равным отрезкам.
Подробнее
На диагонали AC ромба ABCD взята произвольная точка E, отличная от точек A и C, а на прямых AB и BC — точки N и M соответственно так, что AE = NE и CE = ME. Пусть K — точка пересечения прямых AM и CN. Докажите, что точки K, E и D лежат на одной прямой.
Подробнее
На стороне AC остроугольного треугольника ABC выбрана точка D. Медиана AM пересекает высоту CH и отрезок BD в точках N и K соответственно. Докажите, что если AK = BK, то AN = 2KM.
Подробнее
На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки M и N соответственно. Диагональ BD пересекает стороны AM и AN треугольника AMN соответственно в точках E и F, разбивая его на две части. Докажите, что эти части имеют одинаковые площади тогда и только тогда, когда точка K, определяемая условиями $EK \parallel AD, FK \parallel AB$, лежит на отрезке MN.
Подробнее
Точка O — основание высоты четырехугольной пирамиды. Сфера с центром O касается всех боковых граней пирамиды. Точки A, B, C и D взяты последовательно по одной на боковых ребрах пирамиды так, что отрезки AB, BC и CD проходят через три точки касания сферы с гранями. Докажите, что отрезок AD проходит через четвертую точку касания.
Подробнее
Дан правильный $2n$-угольник. Докажите, что на всех его сторонах и диагоналях можно расставить стрелки так, чтобы сумма полученных векторов была нулевой.
Подробнее
Семь треугольных пирамид стоят на столе. Для любых трех из них существует горизонтальная плоскость, которая пересекает их по треугольникам равной площади. Доказать, что существует плоскость, пересекающая все семь пирамид по треугольникам равной площади.
Подробнее