Пусть в треугольнике $OAB$ величина угла $AOB$ равна $\alpha (\alpha < 90^{\circ})$. Через произвольную точку $M$, не совпадающую с $O$, проведены перпендикуляры $MP$ к $OA$ и $MQ$ к $OB$. Пусть $H$ — ортоцентр треугольника $OPQ$. Найдите геометрическое место точек $H$, если:
а) $M$ пробегает отрезок $AB$;
б) $M$ пробегает внутреннюю область треугольника $AOB$.
Подробнее
В плоскости даны 3 точек. Пусть $n \geq 3$ — максимальное расстояние между любыми двумя из этих точек. Назовем его диаметром данной системы точек. Докажите, что этих диаметров не больше $n$.
Подробнее
Докажите, что если стороны $a, b, c$ и противолежащие им углы $\alpha, \beta, \gamma$ некоторого треугольника удовлетворяют соотношению
$a+b = tg \frac{\gamma}{2} (a tg \alpha + b tg \beta)$,
То этот треугольник равнобедренный.
Подробнее
Докажите что сумма расстоянии от центра шара, описанного около правильного тетраэдра, до вершин тетраэдра меньше суммы расстоянии от любой другой точки до вершин тетраэдра.
Подробнее
На сторонах $AB$, $BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $M$, $K$, $L$ (не совпадающие с вершинами). Докажите, что площадь хотя бы одного из треугольников $MAL$, $KBM$, $LCK$ не превышает $\frac{1}{4}$ площади треугольника $ABC$.
Подробнее
В плоскости дано $n > 3$ точек, причем никакие три точки не лежат на одной прямой. Существует ли окружность, проходящая по крайней мере через 3 данные точки и не содержащая внутри себя ни одной из остальных?
Подробнее
В плоскости даны 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что среди этих точек существуют такие 4 точки, которые являются вершинами выпуклого четырехугольника.
Подробнее
Пусть $m$ — выпуклый плоский многоугольник, периметр которого $l$, а площадь $S$. $M(R)$ — множество точек пространства, удаленных от $m$ на расстояние не более $R$, $V(R)$ — объем тела $M(R)$.
Докажите, что $V(R) = \left ( \frac{4}{3} \pi \right ) R^{3} + \left ( \frac{ \pi}{2} l \right ) R^{2} + (2S)R$.
Точка $C$ удалена от фигуры $m$ на расстояние не более $R$, т. е. $C$ принадлежит $M(R)$, если у фигуры $m$ найдется точка $D$, расстояние от которой до $C$ не превышает $R$.
Подробнее
При каком расположении двух бесконечных прямых круговых цилиндров линия их пересечения будет плоской (т. е. будет целиком лежать в одной плоскости)?
Подробнее
Найдите наибольшее число областей, на которые рассекают круг отрезки, соединяющие $n$ точек, лежащих на его окружности.
Подробнее
На окружности даны точки $A$, $B$, $C$, $D$ такие, что $AB$ — диаметр круга, a $CD$ — нет. Докажите, что прямая, соединяющая точку пересечения касательных к окружности в точках $C$ и $D$ с точкой пересечения прямых $AC$ и $BD$, перпендикулярна прямой $AB$.
Подробнее
На плоскости дан круг $K$ с центром $S$ и радиусом 1 и квадрат с центром $M$ и со стороной, равной 2. Пусть $XY$ - гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника $XYZ$. Какую фигуру заполнят вершины $Z$ треугольников $XYZ$, если $X$ пробегает весь круг и $Y$ — весь квадрат $Q$?
Подробнее
Пусть $ABCD$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ — два параллелограмма, произвольно расположенные в пространстве, и $M$, $N$, $P$, $Q$ точки, делящие отрезки $AA^{\prime}$, $BB^{\prime}$, $CC^{\prime}$, $DD^{\prime}$ в одинаковом отношении.
а) Докажите, что $MNPQ$ — параллелограмм.
б) Найдите геометрическое место центров параллелограмма $MNPQ$, когда $M$ пробегает отрезок $AA^{\prime}$. (Последовательные вершины параллелограммов обозначены в алфавитном порядке.
Подробнее
Постройте треугольник, если известны радиусы вневписанных окружностей.
Подробнее
Даны три конгруэнтных прямоугольника. Их центры совпадают, а плоскости взаимно перпендикулярны. Каждая прямая по которой пересекаются плоскости двух прямоугольников, содержит по одной из средних линий этих двух прямоугольников, причем длина этих линий различна. Рассмотрим выпуклый многогранник, вершины которого совпадают с вершинами прямоугольников.
а) Определите объем этого многогранника.
б) Может ли многогранник оказаться правильным и если может, то каково условие этого?
Подробнее
