2018-09-15
На диагонали AC ромба ABCD взята произвольная точка E, отличная от точек A и C, а на прямых AB и BC — точки N и M соответственно так, что AE = NE и CE = ME. Пусть K — точка пересечения прямых AM и CN. Докажите, что точки K, E и D лежат на одной прямой.
Решение:
Рассмотрим случай, когда точки N и M лежат на сторонах ромба (см. рис.). Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Опишем около треугольников ANE и CME окружности и обозначим через $K_{1}$ точку их пересечения, отличную от точки E. Покажем, что точки $K$ и $K_{1}$ совпадают.
Действительно, $\angle AK_{1}E = \angle ANE$ (как вписанные, опирающиеся на дугу AE) и $\angle EK_{1}M = \pi - \angle ECM$ (так как четырехугольник $EK_{1}MC$ вписан в окружность). Но $\angle ECM = \angle ANE$, следовательно, $\angle AK_{1}E + \angle EK_{1}M = \pi$, т. е. точка $K_{1}$ лежит на отрезке AM. Аналогично получаем, что $K_{1}$ лежит на отрезке NC, т. е. совпадает с точкой K пересечения прямых AM и CN. Далее, так как $\angle NEA = \angle NBC$, то $\angle NBC + \angle NEC = \angle NBC + ( \pi - \angle NEA) = \pi$, т. е. около четырехугольника NBCE можно описать окружность
Следовательно, $\angle NEB = \angle NCB$ как вписанные, опирающиеся на дугу NB. Но $\angle NCB = \angle KEM$, так как они опираются на одну и ту же дугу KM. Итак, $\angle NEB = \angle KEM$, а, значит, в силу равенства $\angle AEN = \angle CEM$, равны и углы AEB и CEK. Осталось заметить, что точка D симметрична точке B относительно прямой AC, поэтому $\angle AED = \angle AEB = \angle KEC$ и, следовательно, точки K, E и D лежат на одной прямой.