2018-09-15
На стороне AC остроугольного треугольника ABC выбрана точка D. Медиана AM пересекает высоту CH и отрезок BD в точках N и K соответственно. Докажите, что если AK = BK, то AN = 2KM.
Решение:
Проведем $KE \perp AB$ (см. рис.). Тогда, во-первых, $KE \parallel CH$, а во-вторых, $AE = EB$, так как $AK = KB$. Следовательно, EM — средняя линия треугольника ABC. Поэтому $EM \parallel AC$ и $EM = \frac{1}{2} AC$. Утверждение задачи следует из подобия треугольников MEK и ACN.