2018-09-15
На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, причем AO = CO. Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный, если
а) AM = CN; б) BM = BN ?
Решение:
а) Ответ. Не обязательно.
На рис. приведен пример неравнобедренного треугольника ABC, удовлетворяющего условию задачи. Способ построения ясен из рисунка. Возьмем равнобедренный $\Delta AOC (AO = OC)$ и проведем произвольную прямую $CB_{1}$ так, чтобы угол $ACB_{1}$ был больше угла ACO. Прямая AO пересечет $CB_{1}$ в точке $N$. Эти построения нетрудно выполнить так, чтобы $\angle ANC$ оказался острым.
Отразив точки N и C симметрично относительно $B_{1}O$, получим точки K и A соответственно. Ясно, что прямая AK пройдет через точку $B_{1}$. На отрезке CK есть точка M такая, что AK = AM = CN (так как $\angle AKC = \angle ANC$ - острый).
Ясно, что $\Delta ABC$ не является равнобедренным, так как $\Delta AB_{1}C$ равнобедренный.
б) Ответ. Обязательно.
Допустим, что $\angle A > \angle C$. Построим на стороне BC точку K так, что AK = CK. Пусть L и T — точки пересечения прямой AK с CM и MN соответственно (см. рис.). Так как треугольник AKC равнобедренный и AO = OC, то прямая KO — его ось симметрии. Точки L и N симметричны относительно прямой KO, следовательно, $\angle KLN = \angle KNL$.
Далее, $\angle KNT < \angle KNL = \angle KLN < \angle KTN = \angle ATM < \angle BMN$. Но $\angle KNT = \angle BMN$, так как BM = BN. Полученное противоречие показывает, что неравенство $\angle A > \angle C$ невозможно. Аналогично получаем, что невозможно неравенство $\angle A < \angle C$. Следовательно, $\angle A = \angle C$, т. е. треугольник ABC — равнобедренный.