Дан правильный треугольник ABC. Через вершину B проводится произвольная прямая $l$, а через точки A и C проводятся прямые, перпендикулярные прямой $l$, пересекающие ее в точках D и E. Затем, если $D \neq E$, строятся правильные треугольники DEP и DET, лежащие по разные стороны от прямой $l$. Найдите геометрическое место точек P и T.
Подробнее
Города A, B, C и D расположены так, что расстояние от C до A меньше расстояния от D до A, а расстояние от C до B меньше расстояния от D до B. Докажите, что расстояние от города C до любой точки прямолинейной дороги, соединяющей города A и B, меньше расстояния от города D до этой точки.
Подробнее
Внутри прямого угла KLM взята точка P. Окружность $S_{1}$ с центром $O_{1}$ касается сторон LK и LP угла KLP в точках A и D соответственно, а окружность $S_{2}$ такого же радиуса с центром $O_{2}$ касается сторон угла MLP, причем стороны LP — в точке B. Оказалось, что точка $O_{1}$ лежит на отрезке AB. Пусть C — точка пересечения прямых $O_{2}D$ и KL. Докажите, что BC — биссектриса угла ABD.
Подробнее
Окружность с центром O вписана в четырехугольник ABCD и касается его непараллельных сторон BC и AD в точках E и F соответственно. Пусть прямая AO и отрезок EF пересекаются в точке K, прямая DO и отрезок EF -в точке N, а прямые BK и CN -в точке M. Докажите, что точки O, K, M и N лежат на одной окружности.
Подробнее
В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона AB перпендикулярна стороне CD, а сторона BC -стороне DE. Докажите, что если $AB = AE = ED = 1$, то $BC + CD < 1$.
Подробнее
Биссектриса угла $ABC$ образует с его стороной угол, который равен углу, смежному с углом $ABC$. Найдите градусную меру угла $ABC$.
Подробнее
Треугольник $ABC$ - равносторонний. Лучи $AD, BE$ и $CM$ попарно пересекаются внутри треугольника, причем $\angle BAD = \angle CBE = \angle ACM$ (см. рисунок). Являются ли точки $D, E$ и $M$ вершинами равностороннего треугольника? Ответ обоснуйте.
Подробнее
Из пункта $A$ в пункт $F$ ведет прямолинейная дорога длиной 35 км. Остановки автобуса расположены в точках $B, C, D, E$. Известно, что $AC = 12 км, BD = 11 км, CE = 12 км, DF = 16 км$. Найдите расстояния: $AB, BC, CD, DE$ и $EF$.
Подробнее
Даны два равнобедренных треугольника, в каждом из которых есть сторона, длина которой 6 см, и угол, градусная мера которого $100^{ \circ}$. Можно ли утверждать, что эти треугольники равны? Ответ обоснуйте.
Подробнее
Даны десять точек, расположенные в виде «равностороннего треугольника» (см. рисунок). Зачеркните некоторые из данных точек так, чтобы нельзя было построить ни одного равностороннего треугольника с вершинами в оставшихся точках. Постарайтесь зачеркнуть наименьшее количество точек.
Подробнее
Куб сложен из 27 одинаковых кубиков (см. рисунок). Сравните площадь поверхности этого куба и площадь поверхности фигуры, которая получится, если из него вынуть все «угловые» кубики.
Подробнее
Через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$ проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла $ABC$. Они пересекают прямые $CB$ и $BA$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Найдите длину $AB$, если $BM = 8 см, KC = 1 см$ и $AB > BC$.
Подробнее
Дана пирамида $ABCD$ (см. рисунок). Известно, что $\angle ABB = \angle DBC; \angle ABD = \angle BDC; \angle BAD = \angle ABC$. Найдите площадь поверхности пирамиды (сумму площадей четырех треугольников), если площадь треугольника $ABC$ равна $10 см^{2}$.
Подробнее
Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке О. Периметр треугольника $ABC$ равен периметру треугольника $ABD$, а периметр треугольника $ACD$ равен периметру треугольника $BCD$. Найдите длину $AO$, если $BO = 10 см$.
Подробнее
Какое наибольшее количество прямоугольников $4 \times 1$ можно разместить в квадрате $6 \times 6$ (не нарушая границ клеток)?
Подробнее