Доказать, что сумма расстояний между серединами противоположных сторон четырехугольника равна его полупериметру тогда и только тогда, когда этот четырехугольник - параллелограмм.
Подробнее
Доказать, что если для точки О, лежащей внутри четырехугольника $ABCD$ площади $S$, справедливо равенство
$2S = OA^{2} + OB^{2} + OC^{2} + OD^{2}$,
то четырехугольник $ABCD$ - квадрат, а точка О - его центр.
Подробнее
Пусть $A_{i}H_{i} (i = 1, 2, 3)$ - высоты треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$, площадь которого равна $S$. Доказать, что треугольник $A_{1}A_{2}A_{3}$ равносторонний тогда и только тогда, когда
$S = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^{3}A_{i}A_{i+1} \cdot A_{i}H_{i} (A_{4} = A_{1})$.
Подробнее
Доказать, что вершины наименьшего по площади правильного n-угольинка ($n > 3$), вписанного в данный правильный n-угольник, совпадают с серединами сторон последнего.
Подробнее
Для произвольных $n \geq 3$ точек $A_{1}, A_{2}, \cdots A_{n}$ на плоскости, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, через $\alpha$ обозначен наименьший из углов $\angle A_{i}A_{j}A_{k}$, образованных тройками $A_{i}, A_{j}, A_{k}$ различных точек. При каждом значении $n$ найти наибольшее значение $\alpha$. Определить, при каких расположениях точек это значение достигается.
Подробнее
Найти квадрат наименьших размеров, в котором можно расположить 5 кругов радиуса 1 каждый так, чтобы никакие два из них не имели общих внутренних точек.
Подробнее
Доказать, что если радиус окружности, вписанной в треугольник, вдвое меньше радиуса окружности, описанной около него, то этот треугольник является равносторонним.
Подробнее
На плоскости нарисован угол, внутри которого отмечена точка О. Провести через точку О такой отрезок ВС с концами на сторонах угла, для которого величина
$\frac{1}{BO} + \frac{1}{CO}$
принимает наибольшее значение.
Подробнее
Для каждой точки $T$ заданного треугольника $ABC$ через $m(T)$ и $M(T)$ обозначены наименьшая и соответственно наибольшая из длин отрезков $TA, TB, TC$.
а) Найти все точки $T$ треугольника $ABC$, для которых величина $m(T)$ принимает наибольшее значение.
б) Доказать, что если $\angle BAC \geq 90^{\circ}$, то для любой точки $T$ треугольника $ABC$ справедливы неравенства
$m(T) \leq BC/2 \leq M(T)$.
Подробнее
Доказать, что для любого тетраэдра можно построить треугольник, сторонами которого служат 3 ребра тетраэдра, выходящие из одной его вершины.
Подробнее
Доказать, что если ребра тетраэдра ABCD удовлетворяют равенствам
$AB^{2} + CD^{2} = AC^{2} + BD^{2} = AD^{2} + BC^{2}$,
то по крайней мере одна из его граней является остроугольным треугольником.
Подробнее
Верно ли, что если площади четырех граней одного тетраэдра равны площадям соответствующих граней другого, то объемы этих тетраэдров равны?
Подробнее
Доказать, что существует тетраэдр $ABCD$, все грани которого являются подобными прямоугольными треугольниками с острыми углами при вершинах А и В. Определить, какое из ребер этого тетраэдра наибольшее, а какое - наименьшее, и найти длину наименьшего ребра, если длина наибольшего равна 1.
Подробнее
Тетраэдры $ABCD$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ расположены так, что прямые $AA^{\prime}, BB^{\prime}, CC^{\prime}$ и $DD^{\prime}$ параллельны, грани $ABC$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ не имеют общих точек, а вершины $D$ и $D^{\prime}$ лежат в плоскостях $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ и $ABC$ соответственно. Доказать, что объемы этих тетраэдров одинаковы.
Подробнее
Внутри тетраэдра ABCD расположена точка О так, что прямые АО, ВО, СО, DO пересекают грани BCD, ACD, ABD, ABC тетраэдра в точках $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ соответственно, причем отношения
$\frac{AO}{A_{1}O}, \frac{BO}{B_{1}O}, \frac{CO}{C_{1}O}, \frac{DO}{D_{1}O}$
равны одному и тому же числу. Найти все значения, которые может принимать это число.
Подробнее
