2014-06-07
Доказать, что существует тетраэдр $ABCD$, все грани которого являются подобными прямоугольными треугольниками с острыми углами при вершинах А и В. Определить, какое из ребер этого тетраэдра наибольшее, а какое - наименьшее, и найти длину наименьшего ребра, если длина наибольшего равна 1.
Решение:
Предположим, что указанный в условии задачи тетраэдр ABCD существует, и докажем, что ребро АВ является наибольшим, а ребро CD - наименьшим. Из условия задачи следует, что каждый из углов АСВ, ADB, а также один из углов ACD или ADC, скажем угол ACD, прямой (рис.). Положим $\angle BAC = \phi$. Тогда $\angle ABD = \phi$, поскольку в противном случае $\angle BAD = \phi$ и AC = AD, что невозможно (ибо AD - гипотенуза треугольника ACD). Аналогично, $\angle CDA = \phi$, (иначе $\angle CAD = \phi$ и AB = AD, что невозможно). Поэтому имеем равенства
$BD = AC = AB \cos \phi$,
$BC = AD = AB \sin \phi$,
$CD = AD \cos \phi = AB \sin \phi \cos \phi$,
$AC = AD \sin \phi = AB \sin^{2} \phi$,
откуда, в частности, получаем, что
$\cos \phi = \sin^{2} \phi = 1 - \cos^{2} \phi$,
т. е.
$\phi = arccos \: ((\sqrt{5} - 1)/2)$.
Таким образом, наибольшее ребро $AB$ имеет длину 1, а наименьшее ребро $CD$ - длину $\sin \phi \cos \phi = \sqrt{ \cos \phi} \cos \phi = ((\sqrt{5} - 1)/2)^{3/2}$. Для доказательства существования такого тетраэдра достаточно заметить, что если рассмотреть тетраэдр ABCD с ребрами
$CA = (\sqrt{5} – 1)/2, CB = ((\sqrt{5} - 1)/2)^{1/2}, CD = ((\sqrt{5} - 1)/2)^{3/2}$
и плоскими углами
$\angle BCA = \angle DCA = 90^{\circ}, \angle BCD = arcos ((\sqrt{5} - 1)/2)$,
то
$AB = 1, AD = CB, BD = AC, \angle CAB = \angle DAC$
откуда вытекают равенства
$\triangle ABD = \triangle BAC, \triangle CBD = \triangle DAC$
и подобие всех граней тетраэдра.