На координатной плоскости найти выпуклое множество, которое содержит бесконечно много точек с обеими целочисленными координатами, но в пересечении с любой прямой содержит лишь конечное (или пустое) множество таких точек.
Подробнее
Найти все пары ненулевых векторов $x, y$, для которых последовательность чисел
$a_{n}=|\mathbf{x}-n \mathbf{y}| (n \in \mathbf{N})$
является: а) возрастающей; б) убывающей.
Подробнее
Несколько точек на плоскости расположены так, что расстояние между любыми двумя из них больше 2. Доказать, что любое множество площади меньше $\pi$ можно параллельно перенести по плоскости па вектор длины меньше 1 так, чтобы оно не содержало ни одной из точек.
Подробнее
Внутри круга радиуса $n \in \mathbf{N}$ расположены $4n$ отрезков длины 1 каждый. Доказать, что если задана некоторая прямая, то найдется другая прямая, либо параллельная, либо перпендикулярная ей и пересекающая по крайней мере два отрезка.
Подробнее
В квадрате со стороной 50 расположена ломаная. Доказать, что если расстояние от любой точки квадрата хотя бы до одной точки ломаной не больше 1, то длина ломаной больше 1248.
Подробнее
На плоскости отмечены $n + 4$ точки, четыре из которых расположены в вершинах квадрата, а остальные л лежат внутри этого квадрата. Любые из отмеченных точек разрешается соединять отрезками, лишь бы при этом никакой построенный отрезок не содержал отмеченных точек, отличных от его концов, и никакие два из построенных отрезков не имели общих точек, кроме, возможно, концов. Найти наибольшее число отрезков, которые можно построить таким образом.
Подробнее
Длины $a$ и $b$ двух сторон треугольника удовлетворяют условию $a > b$, а длины соответствующих им высот равны $h_{1}$ и $h_{b}$. Доказать неравенство
$a + h_{1} \geq b + h_{b}$.
Определить, когда достигается равенство.
Подробнее
Доказать, что если один выпуклый многоугольник лежит внутри другого (также выпуклого), то периметр внутреннего многоугольника меньше периметра внешнего.
Подробнее
Доказать, что если последовательно соединить середины сторон выпуклого треугольника (где $n \geq 4$), то площадь полученного многоугольника будет не меньше половины площади исходного.
Подробнее
В правильный шестиугольник вписан параллелограмм, центр симметрии которого совпадает с центром шестиугольника. Доказать что площадь параллелограмма не превосходит 23 площади шестиугольника.
Подробнее
В треугольник $ABC$, в котором угол при вершине А не является острым, вписывается квадрат $B_{1}C_{1}DE$ (сторона $DE$ которого лежит на отрезке $BC$, а вершины $B_{1}$ и $C_{1}$ - на отрезках $AB$ и $AC$ соответственно). Затем в треугольник $AB_{1}C_{1}$ аналогичным образом вписывается квадрат $B_{2}C_{2}D_{1}E_{}1$ и т. д. Это построение проводится несколько раз. Доказать, что сумма площадей всех вписанных квадратов меньше половины площади треугольника $ABC$.
Подробнее
Доказать, что любой остроугольный треугольник площади 1 можно поместить в прямоугольный треугольник площади не больше $\sqrt{3}$.
Подробнее
Доказать, что если на полуокружности радиуса 1 последовательно расположены точки А, В, С, D, Е, то справедливо неравенство
$AB^{2} + BC^{2} + CD^{2} + DE^{2} + AB \cdot BC \cdot CD + BC \cdot CD \cdot DE < 4$.
Подробнее
Доказать, что для любой точки О, лежащей на стороне АВ треугольника ABC и не совпадающей с его вершинами, справедливо неравенство
$OC \cdot AB < OA \cdot BC + OB \cdot AC$.
Подробнее
Доказать, что для любого выпуклого четырехугольника отношение наибольшего из расстояний между его вершинами к наименьшему из них не меньше $\sqrt{2}$.
Подробнее
