2014-06-07
Доказать, что если ребра тетраэдра ABCD удовлетворяют равенствам
$AB^{2} + CD^{2} = AC^{2} + BD^{2} = AD^{2} + BC^{2}$,
то по крайней мере одна из его граней является остроугольным треугольником.
Решение:
Дли данного в задаче тетраэдра ABCD по теореме косинусов имеем (см. рис.)
$2AB \cdot AC \cos \angle BAC = AB^{2} + AC^{2} – BC^{2} = AB^{2} + AD^{2} – BD^{2} = 2AB \cdot AD \cos \angle BAD$,
откуда следует, что
$sign \cos \angle BAC = sign \cos \angle BAD$,
т. е. углы ВАС и BAD либо одновременно острые, либо одновременно неострые. То же самое можно утверждать (доказательство аналогично) и про любые плоские углы этого тетраэдра, имеющие общую вершину. Если все плоские углы тетраэдра ABCD острые, то любая его грань является остроугольным треугольником. Если же хотя бы один из плоских углов, скажем при вершине А, не является острым, то все три плоских угла при этой вершине неострые, а значит, все остальные плоские углы тетраэдра острые (ибо любая грань имеет по меньшей мере два острых угла). В этом случае треугольник BCD остроугольный.