Доказать, что если на плоскости расположены 6 различных точек, то отношение наибольшего из расстояний между этими точками к наименьшему из них не меньше $\sqrt{3}$.
Подробнее
Доказать, что если $a, b, c$ - длины сторон треугольника, $P$ - его периметр, a $S$ -
его площадь, то справедливы неравенства:
1) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{P}$.
2) $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{P^{2}}{3}$.
3) $P^{2} \geq 12 \sqrt{3}S$.
4) $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 4 \sqrt{3}S$.
5) $a^{3} + b^{3} + c^{3} \geq P^{3}/9$.
6) $a^{3} + b^{3} + c^{3} \geq \frac{4 \sqrt{3}}{3}SP$.
7) $a^{4} + b^{4} + c^{4} \geq 16S^{2}$.
Подробнее
Доказать, что для любой точки О, лежащей внутри треугольника ABC с полупериметром р, справедливо неравенство
$OA \cdot \cos \frac{\angle BAC}{2} + OB \cdot \cos \frac{\angle ABC}{2} + OC \cdot \cos \frac{\angle ACB}{2} \geq p$.
Определить, когда достигается равенство.
Подробнее
Доказать, что для углов $\alpha, \beta, \gamma$ любого треугольника справедливо неравенство
$\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma \geq 3/2$.
Определить, когда достигается равенство.
Подробнее
Доказать, что для углов $\alpha, \beta, \gamma$ любого треугольника справедливо неравенство
$\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma \geq 3/4$.
Определить, когда достигается равенство. Доказать, что величина $\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma$ не принимает наибольшего значения.
Подробнее
Доказать, что для углов $\alpha, \beta, \gamma$ любого нетупоугольного треугольника справедливо неравенство
$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma > \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma$.
Подробнее
Доказать, что для любого треугольника с длинами сторон $a, b, c$ и площадью $S$ справедливо неравенство
$\frac{ab + ac + bc}{4S} \geq \sqrt{3}$
Подробнее
Доказать, что если стороны вписанного шестиугольника $ABCDEF$ удовлетворяют равенствам
$AB=BC, CD = DE, EF=FA$,
то площадь треугольника $ACE$ не превосходит площади треугольника $BDF$.
Подробнее
Доказать, что если AD, BE и CF - биссектрисы Треугольника ABC, то площадь треугольника DEF не превосходит четверти площади треугольника ABC.
Подробнее
Внутри правильного треугольника ABC взята точка $A_{1}$, а внутри треугольника $A_{1}BC$ - точка $A_{2}$. Доказать, что
$\frac{S_{1}}{P^{2}_{1}} > \frac{S_{2}}{P^{2}_{2}}$
где $S_{1}, S_{2}$ и $P_{1}, P_{2}$ - площади и периметры треугольников $A_{1}BC, A_{2}BC$ соответственно.
Подробнее
Точки $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ па окружности с центром О и радиусом 1 расположены так, что
$\overrightarrow{OA_{1}} + \overrightarrow{OA_{2}} + \cdots + \overrightarrow{OA_{n}} = 0$.
Доказать, что для любой точки В справедливо неравенство
$BA_{1} + BA_{2} + \cdots BA_{n} \geq n$.
Подробнее
Доказать, что для любых точек А, В, С, D, Е на плоскости справедливо неравенство
$AB + CD + DE + EC \leq AC + AD + AE + BC + BD + BE$.
Подробнее
Длина наибольшей стороны равнобедренной трапеции равна 13, а периметр - 28.
а) Найти стороны трапеции, если ее площадь раина 27.
б) Может ли площадь такой трапеции равняться 27,001?
Подробнее
Из всех треугольников заданного периметра найти такой, у которого радиус Вписанной окружности максимален.
Подробнее
Через точку, находящуюся па расстоянии $k < 1$ от центра окружности радиуса 1, проводится пара перпендикулярных хорд. Найти наибольшее и наименьшее значение суммы их длин.
Подробнее
