Доказать, что для любых векторов $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \mathbf{a}_{3}$ справедливо равенство
$\sum (\varepsilon_{1}\mathbf{a}_{1} + \varepsilon_{2}\mathbf{a}_{2} + \varepsilon_{3}\mathbf{a}_{3})^{2} = 8 \sum_{k=1}^{3} \mathbf{a}^{2}_{k}$,
в котором сумма слева берется по всем 8 различным наборам чисел $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3} \in \{ -1; 1 \}$. Обобщить это утверждение на случай любого числа $n \in \mathbf{N}$ векторов $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \cdots, \mathbf{a}_{n}$.
Подробнее
Через концы А и В отрезка длины а проведены прямые, перпендикулярные друг другу и отрезку АВ. На этих прямых берутся точки С и D соответственно так, чтобы точка пересечения отрезка CD с плоскостью, проходящей через середину О отрезка АВ перпендикулярно ему, была удалена от точки О на расстояние r. Доказать, что длина отрезка CD определяется значениями a и r. Найти геометрическое место точек С.
Подробнее
Сфера $s$ радиуса $r$ проходит через центр сферы $S$ радиуса $R$. Доказать, что если хорда АВ сферы $S$ касается сферы $s$ в точке С, то
$AC^{2} + BC^{2} \leq 2R^{2} + r^{2}$.
Подробнее
Каждая из двух несовпадающих сфер радиусов $r_{1}$ и $r_{2}$ касается внутренним образом сферы $S$ радиуса $R$ и проходит через точки А, В, С, расположенные так, что перпендикуляр к плоскости AВС, проходящий через точку А, проходит и через центр сферы $S$. Доказать, что $r_{1} + r_{2} = R$.
Подробнее
Через $S$ и $V$ обозначены площадь поверхности и объем правильной n-угольной пирамиды.
а) Для заданных значении $n$ и $S$ найти наибольшее значение $V$.
б) Найти стороны основании и высоты всех пирамид, для которых $n = 4, S = 144, V = 64$.
Подробнее
Доказать, что при любом значении $n \in \mathbf{N}$, большем 1, среди всех правильных 2n-угольных призм $A_{1} \cdots A_{2n}A_{1}^{\prime} \cdots A_{2n}^{\prime}$ с фиксированным радиусом $R$ окружности, описанной около основания, наибольший угол между диагональю $A_{1}A_{n+1}^{\prime}$ и плоскостью $A_{1}A_{3}A_{n+2}^{\prime}$ имеет призма, для которой
$A_{1}A_{1}^{\prime} = 2R \cos (180^{\circ}/2n)$.
Подробнее
Доказать, что если в пирамиде с равными боковыми ребрами любые соседние боковые грани образуют равные двугранные углы, а основанием служит многоугольник с нечетным числом сторон, то этот многоугольник правильный.
Подробнее
Основанием пирамиды SABCD служит параллелограмм ABCD. Плоскость $\alpha$ пересекает прямые AD, SA и SC в точках Р, Q, R соответственно так, что
$\frac{AP}{AD} = \frac{SQ}{SA} = \frac{RC}{SC}$
причем все три точки A, S и С либо одновременно принадлежат отрезкам PD, QA и SR соответственно, либо одновременно им не принадлежат. Точка N является серединой отрезка CD, а точка М на прямой SB расположена так, что прямая MN параллельна плоскости $\alpha$. Доказать, что геометрическим местом точек М при всевозможных положениях плоскости $\alpha$ является некоторый отрезок длины $(\sqrt{2}/2) SB$.
Подробнее
Площади оснований усеченной пирамиды равны $S_{1}$ и $S_{2}$, а площадь боковой поверхности равна $S$. Доказать, что если некоторая плоскость, параллельная основаниям, делит пирамиду па две усеченные пирамиды, в каждую из которых можно вписать сферу, то
$S = (\sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}})(\sqrt[4]{S_{1}} + \sqrt[4]{S_{2}})^{2}$.
Подробнее
Найти наибольшее число точек, которые можно расположить на сфере радиуса 1 так, чтобы расстояние между любыми двумя из них было:
а) не меньше $\sqrt{2}$; б) больше $\sqrt{2}$.
Подробнее
Найти все значения $n \in \mathbf{N}$, большие 1, и $r_{n} > 0$, для которых на сфере радиуса 1 можно расположить непересекающиеся окружности $C_{0}, C_{1}, \cdots, C_{n}$ радиуса $r_{n}$ каждая так, чтобы при любом значении $i = 1, \cdots, n$ окружность $C_{i}$ касалась окружностей $C_{0}$ и $C_{i+1} (C_{n+1} = C_{1})$.
Подробнее
Три окружности, лежащие на сфере и имеющие общий с ней центр О, проходит через точку $A$. Па этих окружностях выбраны точки $B, C, D$ соответственно так, что $\angle AOB = 90^{\circ}$, а прямая $OB$ является биссектрисой угла $COD$. Доказать, что если лучи $AB^{\prime}, AC^{\prime}, AD^{\prime}$ касаются дуг $AB, AC, AD$ соответствующих окружностей, то луч $AB^{\prime}$ является биссектрисой угла $C^{\prime}AD^{\prime}$.
Подробнее
На окружности одного основания прямого кругового цилиндра взяты диаметрально противоположные точки A и B, а на окружности другого основания - точка С, не лежащая на плоскости АВО, где О - середина оси цилиндра. Доказать, что сумма двугранных углов трехгранного угла с вершиной О и ребрами OA, ОВ, ОС равна $360^{\circ}$.
Подробнее
Сумма величин плоских углов выпуклого многогранного угла равна сумме величин его двугранных углов. Доказать, что этот угол является трехгранным.
Подробнее
Можно ли разбить пространство на 1979 равных непересекающихся подмножеств?
Подробнее
