2014-06-07
Доказать, что для любого тетраэдра можно построить треугольник, сторонами которого служат 3 ребра тетраэдра, выходящие из одной его вершины.
Решение:
Пусть $AB$ имеем - наибольшее ребро тетраэдра $ABCD$. Тогда имеем (рис.)
$(AC + AD - AB) + (BC + BD - BA) = (AC + CB - AB) + (AD + DB - AB) > 0$,
поэтому справедливо хотя бы одно из неравенств $AC + AD > AB$ или $BC + BD > BA$, гарантирующих, что из ребер $BC, AD, AB$ или соответственно из ребер $BC, BD, BA$ можно составить треугольник (остальные неравенства треугольника вытекают из выбора ребра $AB$).