Существует ли последовательность натуральных чисел, в которой каждое натуральное число встречается ровно один раз и при этом для любого $k = 1, 2, 3, \cdots$ сумма первых $k$ членов последовательности делится на $k$?
Подробнее
Последовательность натуральных чисел ${a_i}$ такова, что $\:НОД(а_i,а_j) = НОД(i,j)$ для всех $i \neq j$. Докажите, что $a_i = i$ для всех $i \in N$. (Через $(m, n)$ обозначен наибольший общий делитель натуральных чисел $m$ и $n$).
Подробнее
Могут ли все числа $1,2,3,\cdots, 100$ быть членами 12 геометрических прогрессий?
Подробнее
Докажите, что для любого натурального числа $а_1 > 1$ существует возрастающая последовательность натуральных чисел $а_1, а_2, а_3, \cdots$ такая, что $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \cdots + a_{k}^{2}$ делится на $а_1 + а_2 + \cdots + a_k$ при всех $k \geq 1$.
Подробнее
На карусели с $n$ сиденьями мальчик катался $n$ сеансов подряд. После каждого сеанса он вставал и, двигаясь по часовой стрелке, пересаживался на другое сиденье. число сидений карусели, мимо которых мальчик проходит при пересаживании, включая и то, на которое он садится, назовем длиной перехода. При каких $n$ за $n$ сеансов мальчик мог побывать на каждом сиденье, если длины всех $n - 1$ переходов различны и меньше $n$?
Подробнее
Каких чисел больше среди натуральных чисел от 1 до 1000000 включительно: представимых в виде суммы точного квадрата и точного куба или не представимых в таком виде?
Подробнее
Пусть натуральные числа $x, у, p, n$ и $к$ таковы, что $x^n + y^n = p^k$. Докажите, что если число $n (n > 1)$ нечетное, а число $p$ нечетное простое, то $n$ является степенью числа $p$ (с натуральным показателем).
Подробнее
В Думе 1600 депутатов, которые образовали 16000 комитетов по 80 человек в каждом. Докажите, что найдутся два комитета, имеющие не менее четырех общих членов.
Подробнее
Найдите все такие натуральные $n$, что при некоторых взаимно простых $x$ и $y$ и натуральном $k, k > 1$, выполняется равенство $3^n = x^k + y^k$.
Подробнее
Докажите, что если числа $а_1, а_2,\cdots, а_m$ отличны от нуля и для любого целого $k = 0,1,\cdots, n (n < m - 1)$
$а_1 + а_2 \cdot 2^k + a_3 \cdot 3^k + \cdots + а_m \cdot m^k = 0$,
то в последовательности $а_1, а_2, \cdots, а_m$ есть по крайней мере $n +1$ пара соседних чисел, имеющих разные знаки.
Подробнее
В вершинах куба записали восемь различных натуральных чисел, а на каждом его ребре - наибольший общий делитель двух чисел, записанных на концах этого ребра. Могла ли сумма всех чисел, записанных в вершинах, оказаться равной сумме всех чисел, записанных на ребрах?
Подробнее
Во взводе служат три сержанта и несколько солдат. Сержанты по очереди дежурят по взводу. Командир издал такой приказ: 1) За каждое дежурство должен быть дан хотя бы один наряд вне очереди. 2) Никакой солдат не должен иметь более двух нарядов и получать более одного наряда за одно дежурство. 3) Списки получивших наряды ни за какие два дежурства не должны совпадать. 4) Сержант, первым нарушивший одно из изложенных выше правил, наказывается гауптвахтой. Сможет ли хотя бы один из сержантов, не сговариваясь с другими, давать наряды так, чтобы не попасть на гауптвахту?
Подробнее
Может ли число, получаемое выписыванием в строку друг за другом целых чисел от 1 до $n (n > 1)$, одинаково читаться слева направо и справа налево?
Подробнее
Существуют ли три натуральных числа, больших 1 и таких, что квадрат каждого из них, уменьшенный на единицу, делится на каждое из остальных?
Подробнее
В строку в неизвестном порядке записаны все целые числа от 1 до 100. За один вопрос про любые 50 чисел можно узнать, в каком порядке относительно друг друга записаны эти 50 чисел. За какое наименьшее число вопросов наверняка можно узнать, в каком порядке записаны все 100 чисел?
Подробнее