2019-01-20
Докажите, что для любого натурального числа $а_1 > 1$ существует возрастающая последовательность натуральных чисел $а_1, а_2, а_3, \cdots$ такая, что $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \cdots + a_{k}^{2}$ делится на $а_1 + а_2 + \cdots + a_k$ при всех $k \geq 1$.
Решение:
Докажем, что для любых чисел $a_1, a_2, \cdots, a_n$, удовлетворяющих условию задачи, можно найти такое $a_{n+1}$, что $A_{n+1} = a_1 + a_2, + \cdots + a_n^2 + a_{n+1}^2$ делится на $B_{n+1} = a_1 + a_2 + \cdots + a_n + a_{n+1}$. Из равенства $A_{n+1} = A_n + (a_{n+1} - B_n)(a_{n+1} + B_n) + В_n^2$ следует, что $A_{n+1}$ делится на $B_{n+1}$, если $A_n + B_n$ делится на $B_{n+1}$, поскольку $a_{n+1} + B_n = B_{n+1}$.
Таким образом, достаточно взять $a_{n+1} = A_n + B_n^2 - B_n$ (в этом случае $A_n + B_n^2 = B_{n+1}$). Осталось показать, что тогда $a_{n+1} > a_n$. Но так как $B_n^2 - B_n > 0 (1 < a_1 < a_2 < \cdots < a_n),$ то $a_{n+1} > A_n \geq a_n^2 > a_n$.