2019-01-20
Могут ли все числа $1,2,3,\cdots, 100$ быть членами 12 геометрических прогрессий?
Решение:
Покажем, что три различных простых числа не могут входить в одну геометрическую прогрессию.
Предположим противное: $p_1 < p_2 < p_3$ - простые числа, $p_1 = a_1q^{k-1}, p_2 = a_1q^{r-1}, p_3 = a_1q^{m-1}$. Тогда $\frac{p_2}{p_1} = q^{r-k} = q^s, \frac{p_3}{p_2} = q^{m-r} = q^n$. Отсюда следует $p_2^{s+n} = р_1^n \cdot p_3^s$, что невозможно, так как $n$ и $s$ - ненулевые целые числа.
Утверждение задачи теперь следует из того, что среди чисел от 1 до 100 содержится 25 простых чисел, а в одну прогрессию могут входить не более двух из них.
Ответ. Нет, не могут.