2019-01-20
На карусели с $n$ сиденьями мальчик катался $n$ сеансов подряд. После каждого сеанса он вставал и, двигаясь по часовой стрелке, пересаживался на другое сиденье. число сидений карусели, мимо которых мальчик проходит при пересаживании, включая и то, на которое он садится, назовем длиной перехода. При каких $n$ за $n$ сеансов мальчик мог побывать на каждом сиденье, если длины всех $n - 1$ переходов различны и меньше $n$?
Решение:
Пусть $n$ нечетно. Тогда сумма длин всех $n - 1$ переходов равна $1 + 2 + \cdots + (n-1) = n \cdot \frac{n-1}{2}$, т. е. делится на $n$. Это означает, что после $n - 1$ переходов мальчик оказался на том же месте, с которого он начал кататься, и, значит, на каком-то из сидений он не побывал.
Пусть $n$ четно. Мальчик мог побывать на каждом сиденье при следующих длинах переходов: $1, n - 2,3, n - 4, \cdots, n - 5, 4, n - 3, 2, n - 1$ (т. е. мальчик побывал последовательно на сиденьях с номерами $1, 2, n, 3, n-1, \cdots, \frac{n}{2} - 1, \frac{n}{2} + 3, \frac{n}{2}, \frac{n}{2} + 2, \frac{n}{2} + 1$).
Ответ. При четных $n$.