2019-01-20
Пусть натуральные числа $x, у, p, n$ и $к$ таковы, что $x^n + y^n = p^k$. Докажите, что если число $n (n > 1)$ нечетное, а число $p$ нечетное простое, то $n$ является степенью числа $p$ (с натуральным показателем).
Решение:
Пусть $m =\:НОД(x, у)$. Тогда $x = mx_1, у = my_1$, и в силу данного в условии равенства $m^n(x_1^n + у_1^n) = p^k$, поэтому $m = p^{ \alpha}$ для некоторого целого неотрицательного $а$. Следовательно,
$x_1^n + y_1^n = p^{k-n \alpha}$.
Так как $n$ нечетно,
$\frac{x_1^n + y_1^n}{x_1 + y_1} = x_1^{n-1} - x_1^{n-2}y_1 + x_1^{n-3}y_1^2 - \cdots - x_1y_1^{n-2} + y_1^{n-1}$.
Обозначим число, стоящее в правой части этого равенства, буквой $A$. По условию $p > 2$, следовательно, хотя бы одно из чисел $x_1, у_1$ больше 1(ибо $x_1 + у_1 \vdots p)$, а так как $n > 1$, то и $A > 1$.
Из равенства вытекает, что $A(x_1 + у_1) = p^{k-n \alpha}$, а так как $x_1 + у_1 > 1,$ и $A > 1$, то каждое из этих чисел делится на $p$; более того, $x_1 + у_1 = p^b$ для некоторого натурального $\beta$. Тогда
$A = x_1^{n-1} - x_1^{n-2}(p^{ \beta} - x_1) + x_1^{n-3}(p^{ \beta} - x_1)^2 - \cdots - x_1 (p^{ \beta} - x_1)^{n-2} + (p^{ \beta} - x_1)^{n-1} = nx_1^{n-1} + Bp^{ \beta}$.
Число $A$ делится на $p$, а число $x_1$ взаимно просто с $p$, следовательно, $n$ делится на $p$.
Пусть $n = pq$. Тогда $x^{pq} + y^{pq} = p^k$ или $(x^p)^q + (v^p)^q = p^k$.
Если $q > 1$, то, как мы только что доказали, $q$ делится на $p$. Если $q = 1,$ то $n = p$. Повторяя это рассуждение, мы получим, что $n = p^l$ для некоторого натурального $l$.