2019-01-20
Существует ли последовательность натуральных чисел, в которой каждое натуральное число встречается ровно один раз и при этом для любого $k = 1, 2, 3, \cdots$ сумма первых $k$ членов последовательности делится на $k$?
Решение:
Укажем способ построения такой последовательности. В качестве первого члена $a_1$ можно взять число 1. Пусть удалось подобрать $n$ первых членов $a_1, a_2, \cdots, a_n$, и пусть $m$ - наименьшее число из не вошедших в них, а $M$ - наибольшее из вошедших. Обозначим $S_k$ сумму первых к членов ($к = 1, 2, 3, \cdots $). Пусть теперь $a_{n+1} = m[(n + 2)^t - 1] - S_n, a_{n+2} = m$, где натуральное $t$ выбрано достаточно большим для того, чтобы выполнялось условие $a_{n+1} > M$. Легко видеть, что $S_{n+1} = S_n + a_{n+1} = m[(n + 2)^t - 1]$ делится на $(n + 2) - 1 = n + 1$, а сумма $S_{n+2} = m(n + 2)^t$ делится на $(n + 2)$. Продолжая таким образом, мы включим все натуральные числа, и при том ровно по одному разу, в нашу последовательность.
Ответ. Существует.