В четырехугольнике $ABCD$ углы $A$ и $B$ - прямые. Известно также, что $CD = AD + BC$. Биссектриса угла $ADC$ пересекает $AB$ в точке $M$. Найдите угол $CMD$.
Подробнее
На стороне $BC$ квадрата $ABCD$ во внешнюю сторону построен равнобедренный треугольник $BEC$ с основанием $BC$. Известно, что угол $EAD$ равен $75^{ \circ}$. Найдите угол $BEC$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно отмечены точки $D$ и $E$ так, что $AD : BD = BE : EC = 2$ и $\angle ACB = 2 \angle BED$. Докажите, что треугольник $ABC$ - равнобедренный.
Подробнее
Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на четыре треугольника. Площади трех из них равны 1, 2 и 3. Найдите площадь четырехугольника.
Подробнее
На катетах $AC$ и $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ как на сторонах, построены равносторонние треугольники $AMC$ и $BKC$ так, что точки $M$ и $K$ лежат вне прямого угла $ACB$. Найдите угол между прямыми $AK$ и $BM$.
Подробнее
В равнобокой трапеции с основаниями 4 и 5 проведена диагональ длины 8. Может ли она быть биссектрисой одного из углов трапеции?
Подробнее
$AL$ и $BM$ - биссектрисы треугольника $ABC$. Окружности, описанные около треугольников $ALC$ и $BMC$, вторично пересекаются в точке $K$, лежащей на стороне $AB$. Найдите величину угла $ACB$.
Подробнее
В треугольнике $ABC: \angle A > \angle B > \angle C$. К какой из вершин треугольника ближе всего расположен центр вписанной в него окружности?
Подробнее
На окружности расположены 1999 белых и одна красная точка. Рассмотрим все выпуклые многоугольники с вершинами в этих точках. Каких многоугольников больше: тех, у которых есть красная вершина или тех, у которых её нет?
Подробнее
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с гипотенузой $AB$, имеющей длину $c$, проведена высота $CH$. $K$ - середина $BC$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $C, H$ и $K$.
Подробнее
Пусть $M$ - внутренняя точка равностороннего треугольника $ABC$. Существует ли треугольник, стороны которого равны отрезкам $MA, MB$ и $MC$, а вершины лежат на сторонах данного равностороннего треугольника?
Подробнее
Биссектриса треугольника делит одну из его сторон на отрезки 3 см и 5 см. В каких границах меняется периметр треугольника?
Подробнее
Диагонали равнобокой трапеции $ABCD$ с боковой стороной $AB$ пересекаются в точке $P$. Верно ли, что центр окружности, описанной около трапеции, лежит на окружности, описанной около треугольника $ABP$?
Подробнее
Дан тупоугольный треугольник $ABC$. На стороне $AC$, лежащей против тупого угла, укажите такие точки $D$, что длина отрезка $BD$ является средним геометрическим длин отрезков $AD$ и $CD$.
Подробнее
Один из углов трапеции равен $60^{ \circ}$. Найдите отношение её оснований, если известно, что в эту трапецию можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность.
Подробнее
