Две стороны четырехугольника равны 1 и 4. Одна из диагоналей делит его на два равнобедренных треугольника и имеет длину 2. Найдите периметр четырехугольника.
Подробнее
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ равны стороны $AB$ и $CD$ и равны углы $A$ и $C$. Верно ли, что этот четырехугольник - параллелограмм?
Подробнее
Даны две перпендикулярные прямые и точка $C$, не принадлежащая ни одной из них. Рассмотрим все прямоугольники $CDME$ такие, что вершина $D$ лежит на одной из данных прямых, а вершина $E$ - на другой. Найдите геометрическое место точек $M$.
Подробнее
Найдите угол $A$ треугольника $ABC$, если он равен одному из углов между биссектрисами, проведенными из вершин $B$ и $C$.
Подробнее
$A$ и $B$ - фиксированные точки на плоскости. Укажите геометрическое место точек $M$ этой плоскости, для которых $A, B$ и $M$ являются вершинами равнобедренного треугольника.
Подробнее
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $B$, противолежащий основанию, равен $20^{ \circ}$. На стороне $AB$ отмечена точка $D$ так, что $BD = AC$. Найдите угол $ACD$.
Подробнее
В трапеции $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны. На большем основании $AD$ выбрана точка $M$ так, что $BM = MD = 3 см$. Найдите длину средней линии трапеции.
Подробнее
В прямоугольнике $ABCD$ точка $M$ - середина стороны $BC$, точка $N$ - середина стороны $CD$, $P$ - точка пересечения отрезков $DM$ и $BN$. Докажите, что $\angle MAN = \angle BPM$.
Подробнее
В выпуклом четырехугольнике $ABCD: AD = BC; \angle ABD + \angle CDB = 180^{ \circ}$. Докажите, что $\angle BAD = \angle BCD$.
Подробнее
Дан круг радиуса 10 см. На одном из его радиусов отмечены пять точек: на расстояниях 1, 3, 5, 7 и 9 см от центра соответственно. Разрежьте этот круг на 5 равных частей так, чтобы в каждой части оказалась ровно одна точка.
Подробнее
Отрезки $AB$ и $CD$ лежат на перпендикулярных прямых (см. рисунок). Точки $M, P, N$ и $Q$ - середины отрезков $AC, BD, BC$ и $AD$ соответственно. Найдите $QN$, если $MP = 4 см$.
Подробнее
Дана равнобокая трапеция с основаниями 11 и 17. Покажите, как ее можно разрезать на четыре равные трапеции.
Подробнее
Угол $BAC$ треугольника $ABC$ равен $120^{ \circ}$. На биссектрисе этого угла взята точка $D$ так, что $AD = AB + AC$. Найдите углы треугольника $BDC$.
Подробнее
О четырехугольнике известно, что две его стороны параллельны и что точка пересечения диагоналей является серединой одной из диагоналей. Верно ли, что этот четырехугольник - параллелограмм?
Подробнее
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен одной из медиан. Какой угол образует эта медиана со вторым катетом?
Подробнее
