Точка $B$ лежит на отрезке $AC$, причем $AB = 2 см, BC = 1 см$. На прямой $AB$ укажите все такие точки $M$, для которых $AM + BM = CM$.
Подробнее
В пятиугольной звезде, изображенной на рисунке, $\angle ACE = \angle ADB$ и $\angle DBE = \angle BEC$. Известно также, что $BD = CE$. Докажите, что $\angle ACD = \angle ADC$.
Подробнее
Точки $C$ и $D$ лежат на окружности с диаметром $AB$. Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$, а прямые $AD$ и $BC$ - в точке $Q$. Докажите, что $AB \perp PQ$.
Подробнее
В равнобокую трапецию с длинами оснований 8 см и 18 см вписана окружность. Найдите ее радиус.
Подробнее
Две противоположные стороны $AB$ и $CD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ лежат на перпендикулярных прямых. Расстояние между серединами сторон $BC$ и $AD$ равно 5. Найдите расстояние между серединами диагоналей $AC$ и $BD$.
Подробнее
Внутри остроугольного треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до всех вершин и до всех сторон треугольника - наименьшая.
Подробнее
Существует ли выпуклый четырехугольник, у которого сумма длин диагоналей не меньше, чем сумма длин всех сторон?
Подробнее
Через центр окружности проведены еще четыре окружности, касающиеся данной (см. рисунок). Сравните площади фигур, выделенных на рисунке черным и серым цветом соответственно.
Подробнее
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $60^{ \circ}$, $AM$ и $CN$ - его высоты, a $Q$ - середина стороны $AC$. Докажите, что треугольник $MNQ$ - равносторонний.
Подробнее
К окружности с диаметром $AC$ проведена касательная $BC$. Отрезок $AB$ пересекает окружность в точке $D$. Через точку $D$ проведена еще одна касательная к окружности, пересекающая отрезок $BC$ в точке $K$. В каком отношении точка $K$ разделила отрезок $BC$?
Подробнее
Расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 5 см, а ее боковые стороны имеют длины 6 см и 8 см. Найдите расстояние между серединами оснований.
Подробнее
Рассмотрим все моменты времени, когда часовая и минутная стрелки часов лежат на одной прямой, образуя развернутый угол. Найдутся ли среди таких прямых две взаимно перпендикулярные?
Подробнее
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK$. Известно, что совпадают центры двух окружностей: вписанной в $\Delta ABK$ и описанной около $\Delta ABC$. Найдите углы треугольника $ABC$.
Подробнее
Расположите на плоскости 6 точек так, чтобы каждые три из них являлись вершинами равнобедренного треугольника. Ответ поясните.
Подробнее
Меньший катет $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ имеет длину $b$. На гипотенузе $AB$ выбрана такая точка $D$, что $BD = BC$. На катете $BC$ взята такая точка $E$, что $DE = BE = m$. Найдите периметр четырехугольника $ADEC$.
Подробнее
