2018-12-08
На катетах $AC$ и $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ как на сторонах, построены равносторонние треугольники $AMC$ и $BKC$ так, что точки $M$ и $K$ лежат вне прямого угла $ACB$. Найдите угол между прямыми $AK$ и $BM$.
Решение:
Первый способ. Рассмотрим поворот с центром в точке С на угол $60^{ \circ}$. Образами точек В и М при этом преобразовании будут точки К и А соответственно, то есть при таком повороте прямая ВЫ перейдет в прямую АК, следовательно, угол между ними равен $60^{ \circ}$ (см. рис.).
Второй способ. Проведя через точки К и М прямые, соответственно параллельные AM и АК, достроим треугольник АКМ до параллелограмма АКPM (см. рис.). Треугольники ВСМ, КСА и ВКР равны между собой (по двум сторонам и углу величиной $150^{ \circ}$ между ними), следовательно, ВM = АК = ВР. Так как МР = АK, то треугольник BMP - равносторонний, то есть, $\angle BMP = 60^{ \circ}$, но $MP \parallel AK$, значит, угол между прямыми ВМ и АК равен $60^{ \circ}$.
Ответ: $60^{ \circ}$.