2018-12-08
Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на четыре треугольника. Площади трех из них равны 1, 2 и 3. Найдите площадь четырехугольника.
Решение:
Пусть дан выпуклый четырехугольник ABCD, О - точка пересечения его диагоналей (см. рис.). Воспользуемся утверждением: $S_{AOB} \cdot S_{COD} = S_{BOC} \cdot S_{COD}$, которое несложно доказать, если записать площадь каждого из этих треугольников как половину произведения длин их сторон и синуса угла между ними.
Возможны три различных случая взаимного расположения треугольников с известными площадями, поэтому обозначив за $x$ площадь четвертого из получившихся треугольников, получим совокупность трех уравнений: $1 \cdot x = 2 \cdot 3$ или $2 \cdot x = 1 \cdot 3$ или $3 \cdot x = 1 \cdot 2$. Ее решения: $x = 6$ или $x = 1,5$ или $x = 2/3$. Сложив площади четырех треугольников, получим искомую площадь.
Ответ: площадь четырехугольника может быть равной 12, 7,5 или $6 \frac{2}{3}$.