Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13309
2023-08-14 
Найдите все целые числа $x, y, z$, при которых величина $4^{x} + 4^{y} + 4^{z}$ представляв собой полный квадрат.
Решение:
Прежде всего заметим, что $x, y, z$ не могут быть отрицательными, так как иначе $4^{x} + 4^{y} + 4^{z}$ не будет целым числом. Если $x \leq y \leq z$, то из того, что $4^{x} + 4^{y} + 4^{z}$ представляет собой полный квадрат, следует, что существует такое положительное целое $m$ и такое положительное нечетное число $t$, при которых
$1 + 4^{y-x} + 4^{z-x} = (1 + 2^{m}t)^{2}$.
Поэтому
$4^{y-x}(1 +4^{z-y}) = 2^{m+1}t(1 + 2^{m-1}t)$,
откуда $m = 2y - 2x - 1$. Следовательно,
$t - 1 = 4^{y-x-1} (4^{z-2у+x+1} - t^{2}) = 4^{y - x - 1}(2^{z - 2y + x +1} + t)(2^{z - 2y + x + 1} - t)$,
откуда $t = 1$ и $z = 2y - x - 1$. Таким образом, все целые решения данного уравнения представимы в виде $\{ x, y, 2y - x - 1 \}$, где $x, y$ произвольны. При этих значениях $x, y, z$ наш квадрат равен $(2^{x} + 2^{2y-x-1})^{2}$.
Найдите все целые числа $x, y, z$, при которых величина $4^{x} + 4^{y} + 4^{z}$ представляв собой полный квадрат.
Решение:
Прежде всего заметим, что $x, y, z$ не могут быть отрицательными, так как иначе $4^{x} + 4^{y} + 4^{z}$ не будет целым числом. Если $x \leq y \leq z$, то из того, что $4^{x} + 4^{y} + 4^{z}$ представляет собой полный квадрат, следует, что существует такое положительное целое $m$ и такое положительное нечетное число $t$, при которых
$1 + 4^{y-x} + 4^{z-x} = (1 + 2^{m}t)^{2}$.
Поэтому
$4^{y-x}(1 +4^{z-y}) = 2^{m+1}t(1 + 2^{m-1}t)$,
откуда $m = 2y - 2x - 1$. Следовательно,
$t - 1 = 4^{y-x-1} (4^{z-2у+x+1} - t^{2}) = 4^{y - x - 1}(2^{z - 2y + x +1} + t)(2^{z - 2y + x + 1} - t)$,
откуда $t = 1$ и $z = 2y - x - 1$. Таким образом, все целые решения данного уравнения представимы в виде $\{ x, y, 2y - x - 1 \}$, где $x, y$ произвольны. При этих значениях $x, y, z$ наш квадрат равен $(2^{x} + 2^{2y-x-1})^{2}$.
