Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13305
2023-08-14 
При каком положительном целом $n$ величина $n^{4} + n^{2}$ разделится без остатка на $2n + 1$?
Решение:
$f(n) = \frac{n^{4} + n^{2}}{2n+1} = \frac{n^{2}(n^{2} + 1)}{2n + 1} = \frac{n^{2}}{4} \left [ \frac{4n^{2} + 4}{2n + 1} \right ] = \left ( \frac{n}{2} \right )^{2} \left [ 2n - 1 + \frac{5}{2n + 1} \right ]$.
Очевидно, что наибольший общий делитель чисел $n$ и $2n + 1$ равен 1. Поэтому $f(n)$ может равняться целому числу только в том случае, когда $\frac{5}{2n + 1}$ - целое число, то есть при $n = 2, 0, -1$ или -3. Следовательно, единственным целым положительным числом, при котором $f(n)$ окажется целым, будет $n = 2$. [В этом случае $f(n) = 4$.]
При каком положительном целом $n$ величина $n^{4} + n^{2}$ разделится без остатка на $2n + 1$?
Решение:
$f(n) = \frac{n^{4} + n^{2}}{2n+1} = \frac{n^{2}(n^{2} + 1)}{2n + 1} = \frac{n^{2}}{4} \left [ \frac{4n^{2} + 4}{2n + 1} \right ] = \left ( \frac{n}{2} \right )^{2} \left [ 2n - 1 + \frac{5}{2n + 1} \right ]$.
Очевидно, что наибольший общий делитель чисел $n$ и $2n + 1$ равен 1. Поэтому $f(n)$ может равняться целому числу только в том случае, когда $\frac{5}{2n + 1}$ - целое число, то есть при $n = 2, 0, -1$ или -3. Следовательно, единственным целым положительным числом, при котором $f(n)$ окажется целым, будет $n = 2$. [В этом случае $f(n) = 4$.]
