Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13312
2023-08-14 
Может ли натуральное число, которое в десятичной системе записывается с помощью $6k - 1$ единиц, быть простым?
Решение:
Натуральное число, которое в десятичной системе записывается с помощью $6k - 1$ единицы. может быть простым. Например, известно, что $(10^{23} - 1):9$, которое записывается с помощью 23 единиц, - простое.
Всякое число, которое записывается с помощью $q = 6k - 1$ единиц, можно представить в виде $(10^{q} - 1): 9$. Поскольку $6k - 1$ не делится на 9, все простые делители числа $(10^{q} - 1 ) : 9$ должны быть делителями числа $10^{q} - 1$. Хорошо известно, что если $q$ составное, то составным будет и $(10^{q} - 1) : 9$. Следовательно, если число $(10^{q} - 1): 9$ просто, то простым будет и $q$. Более того, из теоремы Ферма следует, что любой простой делитель $p$ числа $(10^{q} - 1):9$ обязан представляться в виде $2kq + 1$, где $k$ - целое число.
Далее, если $p = 2q + 1$ - простое число, $q$ - тоже простое и $p \neq 5$, то, как следует из обобщения одного результата Эйлера, $p = 2q + 1$ представляет собой делитель числа $(10^{q} - 1): 9$.
Может ли натуральное число, которое в десятичной системе записывается с помощью $6k - 1$ единиц, быть простым?
Решение:
Натуральное число, которое в десятичной системе записывается с помощью $6k - 1$ единицы. может быть простым. Например, известно, что $(10^{23} - 1):9$, которое записывается с помощью 23 единиц, - простое.
Всякое число, которое записывается с помощью $q = 6k - 1$ единиц, можно представить в виде $(10^{q} - 1): 9$. Поскольку $6k - 1$ не делится на 9, все простые делители числа $(10^{q} - 1 ) : 9$ должны быть делителями числа $10^{q} - 1$. Хорошо известно, что если $q$ составное, то составным будет и $(10^{q} - 1) : 9$. Следовательно, если число $(10^{q} - 1): 9$ просто, то простым будет и $q$. Более того, из теоремы Ферма следует, что любой простой делитель $p$ числа $(10^{q} - 1):9$ обязан представляться в виде $2kq + 1$, где $k$ - целое число.
Далее, если $p = 2q + 1$ - простое число, $q$ - тоже простое и $p \neq 5$, то, как следует из обобщения одного результата Эйлера, $p = 2q + 1$ представляет собой делитель числа $(10^{q} - 1): 9$.
