Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10423
2023-02-17 
В зрительном зале кресла расставлены в $p$ рядов и $q$ «колонн» (условимся называть так кресла, выстроенные «в затылок» одно другому). Таким образом, всего зал вмещает $pq$ зрителей ($p > 1, q > 1$).
В каждом кресле сидит один школьник, причем все ребята, находящиеся в этом зале, отличаются между собой по росту. Учитель выбирает в каждом ряду самого маленького школьника. Рост самого высокого из них оказывается равным $a$. Затем учитель выбирает самого высокого школьника в каждой «колонне». Рост самого маленького из них оказывается равным $b$.
Выяснить, каким из трех соотношений
$a < b, a = b, a >b$
могут быть связаны числа $a$ и $b$, установить, можно ли изменить это соотношение, пересаживая ребят в зрительном зале.
Решение:
Условимся обозначать одной и той же буквой и самого ученика, и его рост (то есть ученика ростом $a$ обозначим $a$, ученика ростом $b$ обозначим $b$ и так далее). Рассмотрим ряд, в котором сидит ученик $a$ (ряд $a$), и «колонну», в которой сидит ученик $b$ (колонну $b$). Пусть $c$ - ученик, садящийся в кресле, находящемся на пересечении ряда $a$ с колонной $b$.
Следует иметь в виду, что ученики $а, b$ и $c$ не обязательно должны быть тремя различными ребятами. Действительно, если $a$ и $b$ сидят в одном ряду, то $c$ и $b$ - два обозначения одного и того же ученика. Если же $a$ и $b$ сидят в одной колонне, то $c$ и $a$ означают одного и того же ученика. Если же $a$ и $b$ - одно и то же лицо, то и $c$ - то же самое лицо.
Поскольку $a$ и $c$ сидят в одном ряду и $a$ - самый маленький по росту из учеников, сидящих в ряду, то $a$ не может быть выше $c$, то есть $a \leq c$. Кроме того, $c \leq b$ ($c$ и $b$ сидят в одной колонне, и $b$ - самый высокий из ребят, сидящих в этой колонне). Следовательно, $a \leq c \leq b$, то есть неравенство $a > b$ исключается. Покажем, что оба случая, $a = b$ и $a < b$, реализуются при соответствующей рассадке учеников.
Случай $a = b$ будет иметь место, например, если в каждой колонне самый высокий ученик сидит в последнем ряду. Тогда самый маленький из учеников, сидящих в последнем ряду, в одинаковой мере имеет право называться и $a$, и $b$, поскольку, с одной стороны, в последнем ряду нет ученика, который был бы меньшего роста (может быть, среди учеников и есть такой, но он сидит в другом ряду), а с другой стороны, в его колонне нет более высокого ученика (может быть, такой ученик есть в другой колонне), а потому самый маленький в каждом ряду, кроме последнего, подавно будет меньше. Пересаживая учеников во всех рядах, кроме последнего, мы, не нарушая равенства $а = b$, можем добиться, чтобы самые маленькие ученики в каждом ряду сидели не в той колонне, где сидит в последнем ряду $a$ (он же $b$).
Случай $a < b$ мы будем иметь, если, например, ребята сидели сначала так же, как только что было сказано, а потом самый маленький из тех, кто сидел в последнем ряду (то есть $b$), поменялся местами с кем-нибудь из сидевших в одной колонне с ним. Пересевший вперед ученик $b$ сохранит это «звание»: в колонне, где он сидит, нет ни одного ученика, который был бы выше (хотя такие ученики могут быть в других колоннах), а в остальных колоннах самые высокие ученики по-прежнему сидят в последнем ряду. С другой стороны, при выборе самого маленького школьника учитель выберет в каждом ряду, кроме последнего, тех же самых ребят, а в последнем ряду - ученика, занявшего место $b$. Каждый из этих ребят меньше $b$, а потому теперь и $а < b$.
Условие $p > 1, q > 1$ мы использовали в тех местах решения, где говорили о «других» школьниках, сидящих в одном ряду или в одной колонне с выбранным нами школьником. Это условие необходимо потому, что если бы в зале зрительные места располагались в один ряд или в одну колонну, то могло бы выполняться лишь равенство $а = b$.
В зрительном зале кресла расставлены в $p$ рядов и $q$ «колонн» (условимся называть так кресла, выстроенные «в затылок» одно другому). Таким образом, всего зал вмещает $pq$ зрителей ($p > 1, q > 1$).
В каждом кресле сидит один школьник, причем все ребята, находящиеся в этом зале, отличаются между собой по росту. Учитель выбирает в каждом ряду самого маленького школьника. Рост самого высокого из них оказывается равным $a$. Затем учитель выбирает самого высокого школьника в каждой «колонне». Рост самого маленького из них оказывается равным $b$.
Выяснить, каким из трех соотношений
$a < b, a = b, a >b$
могут быть связаны числа $a$ и $b$, установить, можно ли изменить это соотношение, пересаживая ребят в зрительном зале.
Решение:
Условимся обозначать одной и той же буквой и самого ученика, и его рост (то есть ученика ростом $a$ обозначим $a$, ученика ростом $b$ обозначим $b$ и так далее). Рассмотрим ряд, в котором сидит ученик $a$ (ряд $a$), и «колонну», в которой сидит ученик $b$ (колонну $b$). Пусть $c$ - ученик, садящийся в кресле, находящемся на пересечении ряда $a$ с колонной $b$.
Следует иметь в виду, что ученики $а, b$ и $c$ не обязательно должны быть тремя различными ребятами. Действительно, если $a$ и $b$ сидят в одном ряду, то $c$ и $b$ - два обозначения одного и того же ученика. Если же $a$ и $b$ сидят в одной колонне, то $c$ и $a$ означают одного и того же ученика. Если же $a$ и $b$ - одно и то же лицо, то и $c$ - то же самое лицо.
Поскольку $a$ и $c$ сидят в одном ряду и $a$ - самый маленький по росту из учеников, сидящих в ряду, то $a$ не может быть выше $c$, то есть $a \leq c$. Кроме того, $c \leq b$ ($c$ и $b$ сидят в одной колонне, и $b$ - самый высокий из ребят, сидящих в этой колонне). Следовательно, $a \leq c \leq b$, то есть неравенство $a > b$ исключается. Покажем, что оба случая, $a = b$ и $a < b$, реализуются при соответствующей рассадке учеников.
Случай $a = b$ будет иметь место, например, если в каждой колонне самый высокий ученик сидит в последнем ряду. Тогда самый маленький из учеников, сидящих в последнем ряду, в одинаковой мере имеет право называться и $a$, и $b$, поскольку, с одной стороны, в последнем ряду нет ученика, который был бы меньшего роста (может быть, среди учеников и есть такой, но он сидит в другом ряду), а с другой стороны, в его колонне нет более высокого ученика (может быть, такой ученик есть в другой колонне), а потому самый маленький в каждом ряду, кроме последнего, подавно будет меньше. Пересаживая учеников во всех рядах, кроме последнего, мы, не нарушая равенства $а = b$, можем добиться, чтобы самые маленькие ученики в каждом ряду сидели не в той колонне, где сидит в последнем ряду $a$ (он же $b$).
Случай $a < b$ мы будем иметь, если, например, ребята сидели сначала так же, как только что было сказано, а потом самый маленький из тех, кто сидел в последнем ряду (то есть $b$), поменялся местами с кем-нибудь из сидевших в одной колонне с ним. Пересевший вперед ученик $b$ сохранит это «звание»: в колонне, где он сидит, нет ни одного ученика, который был бы выше (хотя такие ученики могут быть в других колоннах), а в остальных колоннах самые высокие ученики по-прежнему сидят в последнем ряду. С другой стороны, при выборе самого маленького школьника учитель выберет в каждом ряду, кроме последнего, тех же самых ребят, а в последнем ряду - ученика, занявшего место $b$. Каждый из этих ребят меньше $b$, а потому теперь и $а < b$.
Условие $p > 1, q > 1$ мы использовали в тех местах решения, где говорили о «других» школьниках, сидящих в одном ряду или в одной колонне с выбранным нами школьником. Это условие необходимо потому, что если бы в зале зрительные места располагались в один ряд или в одну колонну, то могло бы выполняться лишь равенство $а = b$.
