Точка $H$ - ортоцентр треугольника $ABC$, точки $A'$, $B'$, $C'$ - середины сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Окружность с центром $H$ пересекает прямую $B'C'$ в точках $D_{1}$ и $D_{2}$, прямую $C'A'$ - в точках $E_{1}$ и $E_{2}$, прямую $A'B'$ - в точках $F_{1}$ и $F_{2}$. Докажите, что

$AD_{1}=AD_{2}=BE_{1}=BE_{2}=CF_{1}=CF_{2}$.

Подробнее

Точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$, а точки $D$, $E$, $F$ - проекции точки $P$ на прямые $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно (известно, что эти точки лежат на одной прямой - прямой Симсона треугольника $ABC$ и точки $P$, см. задачу 8166). Постройте точку $P$, для которой точка $E$ - середина отрезка $DF$

Подробнее

Стороны треугольника равны $a$, $b$, $c$, периметр равен $P$, а радиус описанной окружности равен $R$. Докажите, что

$R^{2}P\geq\frac{a^{2}b^{2}}{a+b-c}.$
Когда имеет место равенство

Подробнее

Постройте треугольник $ABC$ по данной стороне $AB=a$, отношению $AC:BC=b:c$ и разности углов $B$ и $C$

Подробнее

Из точки $E$, лежащей на медиане $AD$ треугольника $ABC$, опущен перпендикуляр $EF$ на сторону $BC$. Из точки $M$, лежащей на прямой $EF$, опущены перпендикуляры $MN$ и $MP$ на стороны $AC$ и $AB$ соответственно. Оказалось, что точки $N$, $E$ и $P$ лежат на одной прямой. Докажите, что точка $M$ лежит на биссектрисе угла $BAC$

Подробнее

Диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, лежащей внутри четырёхугольника. Площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны $S_{1}$ и $S_{2}$ соответственно, а площадь четырёхугольника $ABCD$ равна $S$. Докажите, что:
а) $\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}\leq\sqrt{S}$;
б) неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда прямые $AB$ и $CD$ параллельны

Подробнее

Треугольник $T_{1}$ составлен из медиан прямоугольного треугольника $T$. Пусть $R$ и $R_{1}$ - радиусы описанных окружностей треугольников $T$ и $T_{1}$ соответственно. Докажите, что $R_{1}\geq\frac{5}{6}R$

Подробнее

Два квадрата $ABDE$ и $ACFG$ построены вне треугольника $ABC$ на его сторонах $AB$ и $AC$ соответственно. Точки $P$ и $Q$ на прямой $EG$ таковы, что $BP$ и $CQ$ перпендикулярны $BC$. Докажите, что $BP+CQ\geq BC+EG$.
Когда достигается равенство

Подробнее

Окружности $\Omega$ и $\Omega_{1}$ касаются внешним образом. В окружность $\Omega$ вписан равносторонний треугольника $ABC$. Точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$, лежащие на окружности $\Omega_{1}$, таковы, что $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ - касательные к окружности $\Omega_{1}$. Докажите, что один из отрезков $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ равен сумме двух других

Подробнее

Правильный треугольник $AXY$ с вершинами $X$ и $Y$ на сторонах соответственно $BC$ и $CD$ прямоугольника $ABCD$ вырезан из этого прямоугольника. Докажите, что площадь одного из трёх оставшихся прямоугольных треугольников равна сумме двух других

Подробнее

Пусть точки $A$ и $B$ лежат на данных лучах с началом $C$, и при этом сумма $CA+CB$ постоянна. Докажите, что существует точка $D$, которая лежит на описанной окружности треугольника $ABC$ при любом таком положении точек $A$ и $B$

Подробнее

Хорда $AB$ окружности с центром $O$ не является диаметром. Меньшая дуга $AB$ этой окружности разделена на три равные дуги $AC$, $CD$ и $DB$. Хорда $AB$ разделена на три равных отрезка $AC'$, $C'D'$ и $D'B$. Пусть $P$ - точка пересечения прямых $CC'$ и $DD'$. Докажите, что $\angle APB=\frac{1}{3}\angle AOB$

Подробнее

Пусть $a$, $b$, $c$ - стороны, а $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ - противолежащие им углы треугольника. Докажите, что если

$ab^{2}\cos\alpha=bc^{2}\cos\beta=ca^{2}\cos\gamma,$
то треугольник равносторонний

Подробнее

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $A$. На продолжении гипотенузы $BC$ за точку $C$ отложен отрезок $CD=CB+BA$. Биссектриса угла $ABC$ пересекает прямую, проходящую через середины катетов $AB$ и $AC$, в точке $T$. Докажите, что $\angle ACT=\angle ADC$

Подробнее

Дан остроугольный равнобедренный треугольник $ABC$, $D$ - произвольная точка на его основании $BC$. Прямая, проведённая через точку $C$ параллельно $AD$, пересекает прямую $AB$ в точке $E$. Докажите, что $CE\gt2AD$

Подробнее