ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$, а точки $D$, $E$, $F$ - проекции точки $P$ на прямые $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно (известно, что эти точки лежат на одной прямой - прямой Симсона треугольника $ABC$ и точки $P$, см. задачу 8166). Постройте точку $P$, для которой точка $E$ - середина отрезка $DF$


Решение:


Предположим, задача решена, и пусть $DEF$ - прямая Симсона точки $P$. Из точек $D$ и $E$ отрезок $CP$ виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром $CP$, и четырёхугольник $PCDE$ вписанный. Тогда

$PE=PC\sin\angle PCE=PC\sin\angle PDE,$

По теореме синусов из треугольника $DEP$ получаем

$PC=\frac{PE}{\sin\angle PDE}=\frac{DE}{\sin\angle DPE}=\frac{DE}{\sin\angle DCE}=\frac{DE}{\sin\angle C},$

откуда $DE=PC\sin\angle C$. Аналогично $FE=PA\sin\angle A$, а т.к. $ED=EF$, то по теореме синусов из треугольника $ABC$ получаем

$\frac{AP}{PC}=\frac{\sin\angle A}{\sin\angle C}=\frac{AB}{BC}.$


Таким образом, точка $P$ лежит на окружности Аполлония отрезка $AC$ и фиксированного отношения $\frac{AB}{AC}$ (построение такой окружности в задаче @H1826). Следовательно, $P$ - точка пересечения окружности Аполлония и описанной окружности треугольника $ABC$