Из точки $P$, лежащей внутри остроугольного треугольника $ABC$, опущены перпендикуляры $PD$, $PE$ и $PF$ на стороны $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Найдите геометрическое место точек $P$, для которых треугольник $DEF$ равнобедренный. Для каких $P$ этот треугольник равносторонний
Подробнее
Прямая, параллельна стороне $AB$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AC$ и $BC$ в их внутренних точках $M$ и $P$ соответственно, $D$ - точка пересечения отрезков $AP$ и $BM$. Докажите, что прямая, проходящая через ортоцентры треугольников $ADM$ и $BDP$, перпендикулярна прямой $CD$
Подробнее
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$. Известно, что $BD=AC$, $\angle ADC=30^{\circ}$ и $\angle ACB=48^{\circ}$. Найдите угол $B$
Подробнее
Треугольники $ADB$ и $AEC$, расположенные вне треугольника $ABC$, - равнобедренные и прямоугольные с прямыми углами при вершинах $D$ и $E$ соответственно. Точка $F$ - середина стороны $BC$. Докажите, что треугольник $DFE$ - равнобедренный и прямоугольный
Подробнее
Докажите, что в любом треугольнике радиус каждой вневписанной окружности меньше учетверённого радиуса описанной окружности
Подробнее
Точки $D$ и $E$ лежат на стороне $BC$ треугольника $ABC$. Прямая, проведённая через точку $D$ параллельно $AC$, пересекает сторону $AB$ в точке $F$, а прямая, проведённая через точку $E$ параллельно $AB$, пересекает сторону $AC$ в точке $G$. Пусть $P$ и $Q$ - точки пересечения прямой $FG$ с описанной окружностью треугольника $ABC$. Докажите, что точки $D$, $E$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности
Подробнее
В треугольнике $ABC$ с острыми углами при вершинах $A$ и $C$ проведена высота $BD$. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника при вершине $A$ пересекают прямую $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Известно, что $BC$ - биссектриса внешнего угла при вершине $B$ треугольника $ABD$. Докажите, что $AE=AF$
Подробнее
Две перпендикулярные хорды разбивают круг радиуса $R$ на четыре криволинейных треугольника. В каждый из них вписаны окружности радиусов $r_{1}$, $r_{2}$, $r_{3}$ и $r_{4}$. Докажите, что
$r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}\leq4(\sqrt{2}-1)R$.
Подробнее
Четырёхугольник $ABCD$ ($AD\lt CD$) вписан а окружность $\Gamma$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$. Точка $M$ лежит на отрезке $EC$, причём $\angle CBM=\angle ACD$. Докажите, что описанная окружность треугольника $BME$ касается окружности $\Gamma$ в точке $B$
Подробнее
Пусть $B$ и $C$ - фиксированные точки, а $A$ - произвольная точка, из которой отрезок $BC$ виден под фиксированным углом; $F$ и $G$ - середины отрезков $AB$ и $AC$ соответственно, причём $FD\perp AB$, $GE\perp AC$, а $FB$ и $GC$ - перпендикуляры к $BC$. Докажите, что произведение $BF\cdot CG$ не зависит от положения точки $A$
Подробнее
Точки $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$, $M_{4}$ и $M$ расположены на одной окружности. Докажите, что произведение расстояний от точки $M$ до прямых $M_{1}M_{2}$ и $M_{3}M_{4}$ равно произведению расстояний от точки $M$ до прямых $M_{1}M_{3}$ и $M_{2}M_{4}$
Подробнее
Касательная в точке $A$ к описанной окружности треугольника $ABC$ пересекает прямую $BC$ в точке $X$ (см. рис.), касательная в точке $B$ пересекает прямую $AC$ в точке $Y$, касательная в точке $C$ пересекает прямую $AB$ а точке $Z$. Докажите, что точки $X$, $Y$, $Z$ лежат на одной прямой
Подробнее
Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Gamma_{1}$. Точка $D$ на продолжении стороны $BC$ отмечена так, что $AD$ - касательная к окружности $\Gamma_{1}$. Окружность $\Gamma_{2}$ проходит через точки $A$, $D$ и касается прямой $BD$ в точке $D$. Точка $E$ - отличная от $A$ точка пересечения окружностей $\Gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$. Докажите, что $EB:EC=AB^{3}:AC^{3}$
Подробнее
Вне треугольника $ABC$ построены равносторонние треугольники $A'BC$, $B'CA$ и $C'AB$. На отрезках $AA'$, $BB'$ и $CC'$ отмечены точки $P$, $Q$ и $R$ соответственно, причём
$\frac{AP}{AA'}+\frac{BQ}{BB'}+\frac{CR}{CC'}=1.$
Докажите, что треугольник $PQR$ равносторонний
Подробнее
Прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $A$ вписан в окружность $\Gamma$. Точки $M$ и $N$ - середины катетов $AB$ и $AC$ соответственно, $P$ и $Q$ - точки пересечения прямой $MN$ с окружностью $\Gamma$, $D$ и $E$ - точки касания вписанной окружности треугольника $ABC$ с катетами $AB$ и $AC$ соответственно. Докажите, что точки $D$, $E$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности
Подробнее
