В остроугольном треугольнике $ABC$ точки $O$, $I$ и $H$ - центр описанной окружности, центр вписанной окружности и ортоцентр соответственно. Известно, что точки $A$, $H$, $I$, $O$ и $B$ лежат на одной окружности.
а) Найдите угол $C$.
б) Докажите, что $HI=IO$.
в) Найдите углы $A$ и $B$, если известно, что $AH=HI$

Подробнее

Углы треугольника образуют арифметическую прогрессию. Высоты треугольника тоже образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что треугольник равносторонний

Подробнее

На катетах $AB$ и $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ вне треугольника построены квадраты $ABDE$ и $ACFG$. Пусть прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, а прямые $BF$ и $AC$ - в точке $Q$. Докажите, что $AP=AQ$

Подробнее

Внутри параллелограмма $ABCD$ взята точка $P$. Известно, что $\angle ABP=2\angle ADP$ и $\angle DCP=2\angle DAP$. Докажите, что $AB=PB=PC$

Подробнее

Точки $E$ и $D$ середины диагоналей соответственно $AC$ и $BD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$, $O$ - точка пересечения диагоналей, точки $H$, $K$, $L$ и $M$ - середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ соответственно, а $G$ - вершина параллелограмма $FOEG$. Докажите, что прямые $GH$, $GK$, $GL$ и $GM$ разбивают четырёхугольник $ABCD$ на четыре равновеликие части

Подробнее

Пусть $O$ - центр окружности, проходящей через точки $A$, $B$ и $C$, точка $D$ - середина отрезка $AB$, а $E$ - точка пересечения медиан треугольника $ACD$. Докажите, что прямые $CD$ и $OE$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $AB=AC$

Подробнее

Точка $O$ - центр окружности, описанной около равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Вершины $P$, $Q$, $R$, $S$ ромба лежат на сторонах соответственно $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ трапеции. Докажите, что точки $Q$, $S$ и $O$ лежат на одной прямой

Подробнее

Угол при вершине $C$ треугольника $ABC$ равен $30^{\circ}$. Точки $D$ и $E$ лежат на сторонах $AC$ и $BC$ соответственно, причём $AD=BE=AB$. Докажите, что $OI=DE$ и $OI\perp DE$, где $O$ и $I$ - центры соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника

Подробнее

Точки $M$ и $P$ - середины сторон $BC$ и $CD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$. Известно, что $AM+AP=a$. Докажите, что площадь четырёхугольника $ABCD$ меньше $\frac{a^{2}}{4}$

Подробнее

Пусть $M$ - середина стороны $BC$ треугольника $ABC$, в котором $\angle ABM=\angle C$ и $\angle MAC=15^{\circ}$. Найдите $\angle C$

Подробнее

Окружности $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$ имеют общую хорду $PQ$. Через переменную точку $A$ окружности $\Gamma_{1}$ проведены прямые $AP$ и $AQ$, вторично пересекающие окружность $\Gamma_{2}$ в точках $B$ и $C$ соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежит на некоторой фиксированной окружности

Подробнее

На катетах $AB$ и $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ вне треугольника построены квадраты $ABDE$ и $ACFG$. Пусть прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, а прямые $BF$ и $AC$ - в точке $Q$. Докажите, что:
а) $AP=AQ$;
б) $BP:CQ=AB^{2}:AC^{2}$;
в) прямые $CD$, $BF$ и высота $AL$ треугольника $ABC$ пересекаются в одной точке;
г) если $M$ - точка пересечения прямых $DE$ и $GF$, то $AM\perp BC$, а прямые $AM$, $DC$ и $BF$ пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с точкой $H$ пересечения прямых $CD$, $BF$ и $AL$;
д) $\frac{1}{AH}=\frac{1}{AL}+\frac{1}{BC}$;
е) $BD'=FF'$, где $D'$ и $F'$ - проекции точек соответственно $D$ и $F$ на прямую $BC$;
ж) $DD'+FF'=BC$

Подробнее

Точка $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$, точки $P$ и $Q$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно, причём $BP:PQ:QC=AC:CB:BA$. Докажите, что точки $A$, $P$, $Q$ и $O$ лежат на одной окружности

Подробнее

Докажите, что

$\sin\beta\sin\gamma\leq1-\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}},$
где $a$, $b$ и $c$ - стороны треугольника, а $\beta$ и $\gamma$ - углы, противолежащие сторонам $b$ и $c$ соответственно

Подробнее

Стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Докажите, что величина $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$ содержится между $\frac{3}{2}$ и 2. Можно ли улучшить эти границы

Подробнее