В равносторонний треугольник вписаны две касающиеся окружности (см. рисунок). Найдите угол $KLM$, где $K$, $L$ и $M$ - точки касания
Подробнее
В полукруг вписан квадрат площади 49, к которому примыкает ещё один квадрат, одна из вершин которого лежит на полуокружности (см. рисунок). Найдите площадь второго квадрата
Подробнее
В окружности с центром $O$ проведена хорда $AB$, на которой отмечена точка $C$. Через точку $C$ проведена прямая, перпендикулярная $OC$. Касательные к окружности в точках $A$ и $B$ пересекают эту прямую в точках $P$ и $Q$. Докажите, что $C$ - середина отрезка $PQ$
Подробнее
Можно ли разрезать квадрат на две части и сложить из них равносторонний шестиугольник
Подробнее
Один параллелограмм лежит внутри другого. Может ли сумма диагоналей внутреннего быть больше суммы диагоналей внешнего
Подробнее
Два правильных шестиугольника с отношением сторон $1:2$ расположены так, как показано на рисунке. Найдите $AN$, если $CL=6$
Подробнее
В треугольнике $ABC$ угол $ACB$ равен $120^{\circ}$, $M$ - середина стороны $AB$. На сторонах $AC$ и $BC$ отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $AP=PQ=QB$. Найдите угол $PMQ$
Подробнее
В остроугольном треугольнике $ABC$ отрезок $BM$ - медиана, точка $H$ - ортоцентр, точка $P$ - основание перпендикуляра, опущенного из точки $H$ на прямую $BM$. Докажите, что $BM\cdot MP=AM^{2}$
Подробнее
В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle BAD=\angle BCD=90^{\circ}$. На диагонали $BD$ выбраны такие точки $M$ и $N$ так, что $AN\parallel BC$ и $CM\parallel AB$. На сторонах $AD$ и $CD$ соответственно выбраны точки $X$ и $Y$ так, что $\angle XNB=\angle YMB=90^{\circ}$. Докажите, что отрезок $AC$ равен полупериметру треугольника $BXY$
Подробнее
В трапеции $ABCD$ точка $M$ - середина боковой стороны $AB$, $AD=2BC$. Докажите, что прямая $BD$ проходит через середину отрезка $CM$
Подробнее
Треугольник $ABC$ вписан в окружность. Точка $M$ лежит на дуге $BC$ (не содержащей $A$); точка $M_{1}$ симметрична точке $M$ относительно прямой $BC$. Докажите, что отрезок $AM_{1}$ делится пополам окружностью, проходящей через середины сторон треугольника $ABC$
Подробнее
Пусть $I$ - центр вписанной окружности $\omega$ треугольника $ABC$, касающейся сторон $AB$ и $AC$ в точках соответственно $E$ и $F$. Прямые, проходящие через $E$ и $F$ параллельно $AI$, пересекают прямые $BI$ и $CI$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника $IPQ$, лежит на прямой $BC$
Подробнее
Высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$; $\angle A=60^{\circ}$, $AB\lt AC$; медиана $AM$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ вторично в точке $K$; $L$ - середина дуги $BC$ описанной окружности, не содержащей точку $A$; прямые $B_{1}C_{1}$ и $BC$ пересекаются в точке $E$. Докажите, что $\angle EHL=\angle ABK$
Подробнее
Дана окружность $\Omega$, касающаяся стороны $AB$ угла $BAC$ и лежащая вне этого угла. Рассматриваются окружности $\omega$, вписанные в угол $BAC$. Общая внутренняя касательная к окружностям $\Omega$ и $\omega$, отличная от $AB$, касается окружности $\omega$ в точке $K$. Пусть $L$ - точка касания окружности $\omega$ и прямой $AC$. Докажите, что все такие прямые $KL$ проходят через фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности $\omega$
Подробнее
В треугольнике $ABC$ с углом $60^{\circ}$ при вершине $B$ точка $O$ - центр описанной окружности. Биссектриса $BL$ треугольника пересекает описанную окружность в точке $W$. Докажите, что прямая $OW$ касается окружности, описанной около треугольника $BOL$
Подробнее
