Можно ли прямоугольник $5 \times 7$ покрыть уголками из трех клеток (т. е. фигурками, которые получаются из квадрата $2 \times 2$ удалением одной клетки), не выходящими за его пределы, в несколько слоев так, чтобы каждая клетка прямоугольника была покрыта одинаковым числом клеток, принадлежащих уголкам?
Подробнее
На координатной плоскости расположены четыре фишки, центры которых имеют целочисленные координаты. Разрешается сдвинуть любую фишку на вектор, соединяющий центры любых двух из остальных фишек. Докажите, что несколькими такими перемещениями можно совместить любые две наперед заданные фишки.
Подробнее
Найдите все такие натуральные $n$, что при некоторых взаимно простых $x$ и $y$ и натуральном $k, k > 1$, выполняется равенство $3^n = x^k + y^k$.
Подробнее
Докажите, что если числа $а_1, а_2,\cdots, а_m$ отличны от нуля и для любого целого $k = 0,1,\cdots, n (n < m - 1)$
$а_1 + а_2 \cdot 2^k + a_3 \cdot 3^k + \cdots + а_m \cdot m^k = 0$,
то в последовательности $а_1, а_2, \cdots, а_m$ есть по крайней мере $n +1$ пара соседних чисел, имеющих разные знаки.
Подробнее
В вершинах куба записали восемь различных натуральных чисел, а на каждом его ребре - наибольший общий делитель двух чисел, записанных на концах этого ребра. Могла ли сумма всех чисел, записанных в вершинах, оказаться равной сумме всех чисел, записанных на ребрах?
Подробнее
Во взводе служат три сержанта и несколько солдат. Сержанты по очереди дежурят по взводу. Командир издал такой приказ: 1) За каждое дежурство должен быть дан хотя бы один наряд вне очереди. 2) Никакой солдат не должен иметь более двух нарядов и получать более одного наряда за одно дежурство. 3) Списки получивших наряды ни за какие два дежурства не должны совпадать. 4) Сержант, первым нарушивший одно из изложенных выше правил, наказывается гауптвахтой. Сможет ли хотя бы один из сержантов, не сговариваясь с другими, давать наряды так, чтобы не попасть на гауптвахту?
Подробнее
Знайка пишет на доске 10 чисел, потом Незнайка дописывает еще 10 чисел, причем все 20 чисел должны быть положительными и различными. Могли Знайка написать такие числа, чтобы потом гарантированно суметь составить 10 квадратных трехчленов вида $x^2 + px + q$, среди коэффициентов $p$ и $q$ которых встречались бы все записанные числа, и действительные корни этих трехчленов принимали ровно 11 различных значений?
Подробнее
Может ли число, получаемое выписыванием в строку друг за другом целых чисел от 1 до $n (n > 1)$, одинаково читаться слева направо и справа налево?
Подробнее
Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.
Подробнее
Существуют ли три натуральных числа, больших 1 и таких, что квадрат каждого из них, уменьшенный на единицу, делится на каждое из остальных?
Подробнее
Существует ли такое конечное множество $M$ ненулевых действительных чисел, что для любого натурального $n$ найдется многочлен степени не меньше $n$ с коэффициентами из множества $M$, все корни которого действительны и также принадлежат $M$?
Подробнее
В строку в неизвестном порядке записаны все целые числа от 1 до 100. За один вопрос про любые 50 чисел можно узнать, в каком порядке относительно друг друга записаны эти 50 чисел. За какое наименьшее число вопросов наверняка можно узнать, в каком порядке записаны все 100 чисел?
Подробнее
Пусть $P(x)$ - квадратный трехчлен с неотрицательными коэффициентами. Докажите, что для любых действительных чисел x и у справедливо неравенство $P((xy)^2) \leq P(x^2) \cdot P(y^2)$
Подробнее
Переаттестация Совета Мудрецов происходит так: король выстраивает их в колонну по одному и надевает каждому колпак белого или черного цветов. Все мудрецы видят цвета всех колпаков впереди стоящих мудрецов, а цвет своего и всех стоящих сзади не видят. Раз в минуту один из мудрецов должен выкрикнуть один из двух цветов (каждый мудрец выкрикивает цвет один раз). После окончания этого процесса король казнит каждого мудреца, выкрикнувшего цвет, отличный от цвета его колпака. Накануне переаттестации все сто членов Совета Мудрецов договорились и придумали, как минимизировать число казненных. Скольким из них гарантированно удастся избежать казни?
Подробнее
Существуют ли действительные числа $b$ и $с$ такие, что каждое из уравнений $x^2 + bx + с = 0$ и $2x^2 + (b +1)x + с + 1 = 0$ имеет по два целых корня?
Подробнее