В клетках таблицы $2000 \times 2000$ записаны числа 1 и -1. Известно, что сумма всех чисел в таблице неотрицательна. Докажите, что найдутся 1000 строк и 1000 столбцов таблицы таких, что сумма чисел, записанных в клетках, находящихся на их пересечении, не меньше 1000.
Подробнее
Решите уравнение $ \cos \cos \cos \cos x = \sin \sin \sin \sin x$.
Подробнее
Существует ли последовательность натуральных чисел, в которой каждое натуральное число встречается ровно один раз и при этом для любого $k = 1, 2, 3, \cdots$ сумма первых $k$ членов последовательности делится на $k$?
Подробнее
Последовательность натуральных чисел ${a_i}$ такова, что $\:НОД(а_i,а_j) = НОД(i,j)$ для всех $i \neq j$. Докажите, что $a_i = i$ для всех $i \in N$. (Через $(m, n)$ обозначен наибольший общий делитель натуральных чисел $m$ и $n$).
Подробнее
Даны непостоянные многочлены $P(x)$ и $Q(x)$, у которых старшие коэффициенты равны 1. Докажите, что сумма квадратов коэффициентов многочлена $P(x)Q(x)$ не меньше суммы квадратов свободных членов $P(x)$ и $Q(x)$.
Подробнее
Могут ли все числа $1,2,3,\cdots, 100$ быть членами 12 геометрических прогрессий?
Подробнее
Докажите, что любую функцию, определенную на всей оси, можно представить в виде суммы двух функций, график каждой из которой имеет ось симметрии.
Подробнее
На плоскости отмечены две точки на расстоянии 1. Разрешается, измерив циркулем расстояние между двумя отмеченными точками, провести окружность с центром в любой отмеченной точке с измеренным радиусом. Линейкой разрешается провести прямую через любые две отмеченные точки. При этом отмечаются новые точки - точки пересечения построенных линий. Пусть $Ц(n)$ - наименьшее число линий, проведение которых одним циркулем позволяет получить две отмеченные точки на расстоянии $n$, $n$ - натуральное. $ЛЦ(n)$ - то же, но циркулем и линейкой. Докажите, что последовательность $Ц(n)/ЛЦ(n)$ неограничена.
Подробнее
Докажите, что для любого натурального числа $а_1 > 1$ существует возрастающая последовательность натуральных чисел $а_1, а_2, а_3, \cdots$ такая, что $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \cdots + a_{k}^{2}$ делится на $а_1 + а_2 + \cdots + a_k$ при всех $k \geq 1$.
Подробнее
На карусели с $n$ сиденьями мальчик катался $n$ сеансов подряд. После каждого сеанса он вставал и, двигаясь по часовой стрелке, пересаживался на другое сиденье. число сидений карусели, мимо которых мальчик проходит при пересаживании, включая и то, на которое он садится, назовем длиной перехода. При каких $n$ за $n$ сеансов мальчик мог побывать на каждом сиденье, если длины всех $n - 1$ переходов различны и меньше $n$?
Подробнее
Каких чисел больше среди натуральных чисел от 1 до 1000000 включительно: представимых в виде суммы точного квадрата и точного куба или не представимых в таком виде?
Подробнее
Пусть натуральные числа $x, у, p, n$ и $к$ таковы, что $x^n + y^n = p^k$. Докажите, что если число $n (n > 1)$ нечетное, а число $p$ нечетное простое, то $n$ является степенью числа $p$ (с натуральным показателем).
Подробнее
В Думе 1600 депутатов, которые образовали 16000 комитетов по 80 человек в каждом. Докажите, что найдутся два комитета, имеющие не менее четырех общих членов.
Подробнее
Докажите, что в арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и разностью, равной 729, найдется бесконечно много членов, являющихся степенью числа 10.
Подробнее
На столе лежат две кучки монет. Известно, что суммарный вес монет из первой кучки равен суммарному весу монет из второй кучки, а для каждого натурального числа $k$, не превосходящего числа монет как в первой, так и во второй кучке, суммарный вес $k$ самых тяжелых монет из первой кучки не больше суммарного веса $k$ самых тяжелых монет из второй кучки. Докажите, что если заменить каждую монету, вес которой не меньше $x$, на монету веса $x$ (в обеих кучках), то первая кучка монет окажется не легче второй, каково бы ни было положительное число $x$.
Подробнее