В классе 33 человека. У каждого ученика спросили, сколько у него в классе тезок и сколько однофамильцев (включая родственников). Оказалось, что среди названных чисел встретились все целые от 0 до 10 включительно. Докажите, что в классе есть два ученика с одинаковыми именем и фамилией.
Подробнее
В клетках таблицы $10 \times 10$ расставлены числа $1, 2, 3, \cdots, 100$ так, что сумма любых двух соседних чисел не превосходит $S$. Найдите наименьшее возможное значение $S$. (Числа называются соседними, если они стоят в клетках, имеющих общую сторону).
Подробнее
Решите в целых числах уравнение $(x^2 - у^2)^2 = 1 + 16y$.
Подробнее
Квадрат $n \times n (n \geq 3)$ склеен в цилиндр. Часть клеток покрашена в черный цвет. Докажите, что найдутся две параллельных линии (две горизонтали, две вертикали или две диагонали), содержащие одинаковое количество черных клеток.
Подробнее
Существуют ли два квадратных трехчлена $ax^2 + bx + с$ и $(a + 1)x^2 + (b + 1)x + (c +1)$ с целыми коэффициентами, каждый из которых имеет по два целых корня?
Подробнее
Найдите все тройки натуральных чисел $m, n$ и $l$ такие, что $m + n = (\:НОД (m,n))^2, m + l = (\:НОД (m, l))^2, n + l = (\:НОД(n, l))^2$.
Подробнее
На бесконечной в обе стороны полосе из клеток, пронумерованных целыми числами, лежит несколько камней (возможно, по нескольку в одной клетке). Разрешается выполнять следующие действия: 1) Снять по одному камню с клеток $n - 1$ и $n$ и положить один камень в клетку $n +1$. 2) Снять два камня с клетки $n$ и положить по одному камню в клетки $n +1, n - 2$. Докажите, что при любой последовательности действий мы достигнем ситуации, когда указанные действия больше выполнять нельзя, и эта конечная ситуация не зависит от последовательности действий (а зависит только от начальной раскладки камней по клеткам).
Подробнее
Переаттестация Совета Мудрецов происходит так: король выстраивает их в колонну по одному и надевает каждому колпак белого, синего или красного цветов. Все мудрецы видят цвета всех колпаков впереди стоящих мудрецов, а цвет своего и всех стоящих сзади не видят. Раз в минуту один из мудрецов должен выкрикнуть один из трех цветов (каждый мудрец выкрикивает цвет один раз). После окончания этого процесса король казнит каждого мудреца, выкрикнувшего цвет, отличный от цвета его колпака. Накануне переаттестации все сто членов Совета Мудрецов договорились и придумали, как минимизировать число казненных. Скольким из них гарантированно удастся избежать казни?
Подробнее
Куб $n \times n \times n$ сложен из единичных кубиков. Дана замкнутая несамопересекающаяся ломаная, каждое звено которой соединяет центры двух соседних (имеющих общую грань) кубиков. Назовем отмеченными грани кубиков, пересекаемые данной ломаной. Докажите, что ребра кубиков можно покрасить в два цвета так, чтобы каждая отмеченная грань имела нечетное число, а всякая неотмеченная грань - четное число сторон каждого цвета.
Подробнее
Рассматриваются всевозможные квадратные трехчлены вида $x^2 + px + q,$ где $p, q$ - целые, $1 \leq p \leq 1997, 1 \leq q \leq 1997$. Каких трехчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?
Подробнее
В прямоугольную коробку с основанием $m \times n,$ где $m$ и $n$ - нечетные числа, уложены домино размера $2 \times 1$ так, что остался не покрыт только квадрат $1 \times 1$ (дырка) в углу коробки. Если доминошка прилегает к дырке короткой стороной, ее разрешается сдвинуть вдоль себя на одну клетку, закрыв дырку (при этом открывается новая дырка). Докажите, что с помощью таких передвижений можно перегнать дырку в любой другой угол.
Подробнее
Угол, образованный лучами $у = x$ и $у = 2x$ при $x \geq 0$, высекает на параболе $у = x^2 + px + q$ две дуги. Эти дуги спроектированы на ось $0x$. Докажите, что проекция левой дуги на 1 короче проекции правой.
Подробнее
Обозначим $S(x)$ сумму цифр числа $x$. Найдутся ли три таких натуральных числа $a, b$ и $с$, что $S(a + b) < 5, S(a + с) < 5$ и $S(b + с) < 5$, но $S(a + b + с) > 50$?
Подробнее
Назовем лабиринтом шахматную доску $8 \times 8$, на которой между некоторыми полями поставлены перегородки. По команде ВПРАВО ладья смещается на одно поле вправо или, если справа находится край доски или перегородка, остается на месте; аналогично выполняются команды ВЛЕВО, ВВЕРХ и ВНИЗ. Программист пишет программу - конечную последовательность указанных команд, и дает ее пользователю, после чего пользователь выбирает лабиринт и помещает в него ладью на любое поле. Верно ли, что программист может написать такую программу, что ладья обойдет все доступные поля в лабиринте при любом выборе пользователя?
Подробнее
На столе лежат 5 часов со стрелками. Разрешается любые несколько из них перевести вперед. Для каждых часов время, на которое при этом их перевели, назовем временем перевода. Требуется все часы установить так, чтобы они показывали одинаковое время. За какое наименьшее суммарное время перевода это можно гарантированно сделать?
Подробнее