Плоскость разбита двумя семействами параллельных прямых на единичные квадратики. Назовем каемкой квадрата $n \times n$, состоящего из квадратиков разбиения, объединение тех квадратиков, которые хотя бы одной из своих сторон примыкают изнутри к его границе. Докажите, что существует ровно один способ покрытия квадрата $100 \times 100$, состоящего из квадратиков разбиения, неперекрывающимися каемками пятидесяти квадратов. (Каемки могут и не содержаться в квадрате $100 \times 100$).
Подробнее
Даны три квадратных трехчлена: $P_1(x) = x^2 + p_1x + q_1, P_2(x) = x^2 + p_2x + q_2$ и $P_3(x) = x^2 + p_3x + q_3$. Докажите, что уравнение $|P_1(x)| + |P_2(x)| = |P_3(x)|$ имеет не более восьми корней.
Подробнее
Докажите, что для натуральных чисел $k, m$ и $n$ справедливо неравенство $[k, m] \cdot [m, n] \cdot [n, k] \geq {[k, m, n]}^2$ (здесь через $[x, y,\cdots]$ обозначено наименьшее общее кратное чисел $x,y,\cdots$).
Подробнее
Функции $f(x)$ и $g(x)$ определены на множестве целых чисел, не превосходящих по модулю 1000. Обозначим через $m$ число пар $(x, y)$, для которых $f(x) = g(y)$, через $n$ - число пар, для которых $f(x) = f(y)$, а через $к$ - число пар, для которых $g(x) = g(y)$. Докажите, что $2m \leq n+k$.
Подробнее
В классе 30 учеников, и у каждого из них одинаковое число друзей среди одноклассников. Каково наибольшее возможное число учеников, которые учатся лучше большинства своих друзей? (Про любых двух учеников в классе можно сказать, кто из них учится лучше; если $A$ учится лучше $B$, а тот - лучше $C$, то $A$ учится лучше $C$).
Подробнее
Даны натуральные числа $а$ и $b$ такие, что число $ \frac {a+1}{b}+ \frac {b+1}{a}$ является целым. Докажите, что наибольший общий делитель чисел $а$ и $b$ не превосходит числа $\sqrt {a+b}$.
Подробнее
Внутри выпуклого стоугольника выбрано $k$ точек, $2 \leq k \leq 50$. Докажите, что можно отметить $2k$ вершин стоугольника так, чтобы все выбранные точки оказались внутри $2k$-угольника с отмеченными вершинами.
Подробнее
В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны действительные числа. Рассматриваются две фигуры, каждая из которых состоит из конечного числа клеток. Фигуры разрешается перемещать параллельно линиям сетки на целое число клеток. Известно, что для любого положения первой фигуры сумма чисел, записанных в накрываемых ею клетках, положительна. Докажите, что существует положение второй фигуры, при котором сумма чисел в накрываемых ею клетках положительна.
Подробнее
Дана последовательность натуральных чисел $а_1, а_2, \cdots, a_n, \cdots $, в которой $а_1$ не делится на 5 и для всякого $n$ имеет место равенство $a_{n+1} = a_n + b_n$: где $b_n$ - последняя цифра числа $a_n$. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.
Подробнее
Игроки $A$ и $B$ по очереди ходят конем на шахматной доске $1994 \times 1994$. Игрок $A$ может делать только горизонтальные ходы, т. е. такие, при которых конь перемещается на соседнюю горизонталь. Игроку $B$ разрешены только вертикальные ходы, при которых конь перемещается на соседнюю вертикаль. Игрок $A$ ставит коня на поле, с которого начинается игра, и делает первый ход. При этом каждому игроку запрещено ставить коня на то поле, на котором он уже побывал в данной игре. Проигравшим считается игрок, которому некуда ходить. Докажите, что для игрока $A$ существует выигрышная стратегия.
Подробнее
Товарный поезд, отправившись из Москвы в $x$ часов $у$ минут, прибыл в Саратов в $у$ часов $z$ минут. Время в пути составило $z$ часов $x$ минут. Найдите все возможные значения $x$.
Подробнее
Известно, что $f(x), g(x)$ и $h(x)$ - квадратные трехчлены. Может ли уравнение $f(g(h(x))) = 0$ иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?
Подробнее
Можно ли в клетки таблицы $9 \times 9$ записать натуральные числа от 1 до 81 так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате $3 \times 3$ была одна и та же?
Подробнее
Назовем натуральные числа похожими, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, такие, что сумма двух из них равна третьему.
Подробнее
Имеется три кучи камней. Сизиф таскает по одному камню из кучи в кучу. За каждое перетаскивание он получает от Зевса количество монет, равное разности числа камней в куче, в которую он кладет камень, и числа камней в куче, из которой он берет камень (сам перетаскиваемый камень при этом не учитывается). Если указанная разность отрицательна, то Сизиф возвращает Зевсу соответствующую сумму. (Если Сизиф не может расплатиться, то великодушный Зевс позволяет ему совершать перетаскивание в долг.) В некоторый момент оказалось, что все камни лежат в тех же кучах, в которых лежали первоначально. Каков наибольший суммарный заработок Сизифа на этот момент?
Подробнее