Целые числа $x, y$ и $z$ таковы, что $(x - y)(y - z)( z - x) = x + y + z$. Докажите, что число $x + y + z$ делится на 27.
Подробнее
Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на любой горизонтали, вертикали и диагонали находилось четное число фишек?
Подробнее
На доске написано $n$ выражений вида $\ast x^2 + \ast x + \ast = 0$ ($n$ - нечетное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звездочек числом, не равным нулю. Через $3n$ ходов получится $n$ квадратных уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не имеющих корней, может получить первый игрок независимо от игры второго?
Подробнее
За круглым столом сидит компания из тридцати человек. Каждый из них либо дурак, либо умный. Всех сидящих спрашивают: «Кто Ваш сосед справа - умный или дурак?» В ответ умный говорит правду, а дурак может сказать как правду, так и ложь. Известно, что количество дураков не превосходит $F$. При каком наибольшем значении $F$ всегда можно, зная эти ответы, указать на умного человека в этой компании?
Подробнее
Квадратная доска разделена сеткой горизонтальных и вертикальных прямых на $n^2$ клеток со стороной 1. При каком наибольшем $n$ можно отметить $n$ клеток так, чтобы любой прямоугольник площади не менее $n$ со сторонами, идущими по линиям сетки, содержал хотя бы одну отмеченную клетку?
Подробнее
Назовем усреднением последовательности $\{ a_{k} \}$ действительных чисел последовательность $\{ {a}^{ \prime}_k \}$ с общим членом ${a}^{ \prime} _k = \frac{a_k + a_{k+1}}{2}$. Рассмотрим последовательности: $\{ a_k \}$, $\{ a^{ \prime}_k \}$ - ее усреднение, $\{ a^{ \prime \prime}_k \}$ - усреднение последовательности $\{ a^{ \prime}_k \}$, и т.д. Если все эти последовательности состоят из целых чисел, то будем говорить, что последовательность $\{ а_{k} \}$ - хорошая. Докажите, что если последовательность ${x_к}$ - хорошая, то последовательность $\{ x_k^{2} \}$ - тоже хорошая.
Подробнее
Найдите все функции $f(x)$, определенные при всех положительных $x$, принимающие положительные значения и удовлетворяющие при любых положительных $x$ и $у$ равенству $f(x^y) = f(x)^{f(y)}$.
Подробнее
Докажите, что существует такое натуральное число $n$, что если правильный треугольник со стороной $n$ разбить прямыми, параллельными его сторонам, на $n^2$ правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать $1993n$ точек, никакие три из которых не являются вершинами правильного треугольника (не обязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного треугольника).
Подробнее
Найдите все четверки действительных чисел, в каждой из которых любое число равно произведению каких-либо двух других чисел.
Подробнее
В строку записаны в некотором порядке натуральные числа от 1 до 1993. Над строкой производится следующая операция: если на первом месте стоит число $k$, то первые $k$ чисел в строке переставляются в обратном порядке. Докажите, что через несколько таких операций на первом месте обязательно окажется число 1.
Подробнее
В турнире по теннису $n$ участников хотят провести парные (двое на двое) матчи так, чтобы каждый из участников имел своим противником каждого из остальных ровно в одном матче. При каких $n$ возможен такой турнир?
Подробнее
Докажите, что если $(x+ \sqrt {x^2+1})(y+ \sqrt {y^2+1})=1$, то $х + у = 0$.
Подробнее
На столе лежат три кучки спичек. В первой кучке находится 100 спичек, во второй - 200, а в третьей - 300. Двое играют в такую игру. Ходят по очереди, за один ход игрок должен убрать одну из кучек, а любую из оставшихся разделить на две непустые части. Проигравшим считается тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер?
Подробнее
Докажите тождество $ \frac {a_1}{a_2(a_1+a_2)}+ \frac {a_2}{a_3(a_2+a_3)}+\cdots+ \frac {a_n}{a_1(a_n+a_1)}= \frac {a_2}{a_1(a_1+a_2)}+ \frac {a_3}{a_2(a_2+a_3)}+\cdots+ \frac {a_1}{a_n(a_n+a_1)}$.
Подробнее
Натуральные числа от 1 до 1000 по одному выписали на карточки, а затем накрыли этими карточками какие-то 1000 клеток прямоугольника $1 \times 1994$. Если соседняя справа от карточки с числом n клетка свободна, то за один ход ее разрешается накрыть карточкой с числом $n +1$. Докажите, что нельзя сделать более полумиллиона таких ходов.
Подробнее